kid许维恩康熙:初中数学课程标准修订稿

来源:百度文库 编辑:神马慧海网 时间:2020/02/29 14:16:20
全日制义务教育数学课程标准
(修改稿)
2007-4
目   录
前   言. 3
第一部分  基本理念与设计思路. 4
一、基本理念. 4
二、设计思路. 5
第二部分  课程目标. 8
一、总体目标. 8
二、学段目标. 9
第三部分  内容标准. 12
第一学段(1~3年级). 12
一、数与代数. 12
二、图形与几何. 13
三、统计与概率. 13
四、综合与实践. 14
第二学段(4~6年级). 14
一、数与代数. 14
二、图形与几何. 15
三、统计与概率. 16
四、综合与实践. 17
第三学段(7~9年级). 17
一、数与代数. 17
二、图形与几何. 20
三、统计与概率. 25
四、综合与实践. 25
第四部分  实施建议. 26
一、教学建议. 26
二、评价建议. 31
三、教材编写建议. 35
附录1 课程目标的术语解释. 40
附录2 内容标准及教学建议中的案例. 41
《全日制义务教育数学课程标准(修改稿)》(以下简称《标准》)是根据《中华人民共和国义务教育法》、《基础教育课程改革纲要(试行)》制定的。《标准》以推进实施素质教育,培养学生的创新精神和实践能力,促进学生全面发展为宗旨,明确数学课程的性质和地位,阐述数学课程的基本理念和设计思路,提出数学课程目标与内容标准,并对课程实施提出建议。
《标准》提出的数学课程理念和目标对义务教育阶段的数学课程与教学具有指导作用,所规定的课程目标和内容标准是每一个学生在该阶段应当达到的基本要求。《标准》是教材编写、教学、评估和考试命题的依据。在实施过程中,应当遵照《标准》的要求,充分考虑全体学生的发展,关注个体差异,因材施教。为更好地理解和把握有关的目标和内容,《标准》编入了一些案例,以供参考。
数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类的活动息息相关,特别是随着现代计算机技术的飞速发展,数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具,不仅是自然科学和技术科学的基础,而且在社会科学与人文科学中发挥着越来越大的作用。数学是人类文化的重要组成部分,数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。数学教育作为促进学生全面发展教育的重要组成部分,一方面要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能,另一方面要发挥数学在培养人的逻辑推理和创新思维方面的不可替代的作用。
义务教育阶段的数学课程具有公共基础的地位,要着眼于学生整体素质的提高,促进学生全面、持续、和谐发展。课程设计要适应学生未来生活、工作和学习的需要,使学生掌握必需的数学基础知识与基本技能,发展学生抽象思维和推理能力,培养学生应用意识和创新意识,并使学生在情感、态度与价值观等方面都得到发展。课程设计要符合数学本身的特点,体现数学的精神实质;要符合学生的认知规律和心理特征,有利于激发学生的学习兴趣;要在呈现作为知识与技能的数学结果的同时,重视学生已有的经验,使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。
1.数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标,体现基础性、普及性和发展性。义务教育阶段的数学课程要面向全体学生,适应学生个性发展的需要,使得:[xiaochen1] 不同的人在数学上得到不同的发展。
2.课程内容既要反映社会的需要、数学学科的特征,也要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结论,也应包括数学结论的形成过程和数学思想方法。课程内容的选择要贴近学生的实际,有利于学生体验、思考与探索。[xiaochen2] 课程内容的呈现应注意层次性和多样性。
3.教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的数学教学活动是学生学与教师教的统一,学生是数学学习的主体,教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。
数学教学活动应激发学生兴趣,调动学生积极性,引发学生的数学思考,鼓励学生的创造性思维;要注重培养学生良好的数学学习习惯,掌握有效的数学学习方法。
学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。[xiaochen3] 学生应当有足够的时间和空间经历[xiaochen4] 等活动过程。
教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础,面向全体学生,注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用,[xiaochen5] 通过有效的措施,引导学生独立思考、主动探索、合作交流,使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,得到必要的数学思维训练,获得基本的数学活动经验。
4.学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的过程和结果,激励学生学习和改进教师教学。应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系。评价要关注学生学习的结果,[xiaochen6] 关注学习的过程;要关注学生数学学习的水平,[xiaochen7] 关注学生在数学活动中所表现出来的情感与态度,帮助学生认识自我、建立信心。
5.信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响。数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术,[xiaochen8] 要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响,开发并向学生提供丰富的学习资源,把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具,有效地改进教与学的方式,使学生乐意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动中去。
(一) 关于学段
为了体现义务教育数学课程的整体性,《标准》统筹考虑了九年的课程内容。同时,根据学生发展的生理和心理特征,将九年的学习时间划分为三个学段:第一学段(1~3年级)、第二学段(4~6年级)、第三学段(7~9年级)。
(二) 关于目标
《标准》提出义务教育阶段数学课程的总体目标和学段目标,并从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度等四个方面加以阐述。
数学学习活动的目标包括结果目标和过程目标。《标准》使用“了解、理解、掌握、运用”等术语表述学习活动结果目标的不同水平,使用“经历、体验、探索”等术语表述学习活动过程目标的不同程度(术语解释见附录1)。
(三) 关于课程内容
在各学段中,《标准》安排了四个方面的课程内容:“数与代数”,“[xiaochen9] ”,“统计与概率”,“[xiaochen10] 。
◆数与代数
“数与代数”的主要内容有:数的认识,数的表示,数的大小,数的运算,数量的估计;字母表示数,代数式及其运算;方程、方程组、不等式、函数等。
在“数与代数”的教学中,应帮助学生建立数感和符号意识,运算能力和推理能力[xiaochen11] ,模型思想[xiaochen12] 。
数感主要是指关于数与数量表示、数量大小比较、数量和运算结果的估计、数量关系等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义,理解或表述具体情境中的数量关系。
符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律;知道使用符号可以进行一般性的运算和推理。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。
主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力还有助于学生理解运算的算理,能够寻求合理简洁的运算途径解决问题。[xiaochen13]
建立和求解模型的过程包括:从现实生活或者具体情境中抽象出数学问题,用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律,求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想,提高学习兴趣和应用意识。
◆图形与几何
“图形与几何”的主要内容有:空间和平面的基本图形,图形的性质、分类和度量;图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影;平面图形基本性质的证明;运用坐标描述图形的位置和运动。
在“图形与几何”的教学中,应帮助学生建立空间观念,注重培养学生的[xiaochen14] 与推理能力。
空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形,根据几何图形想象出所描述的实际物体;想象出物体的方位和相互之间的位置关系;描述图形的运动和变化;依据语言描述画出图形等。
主要是指利用图形描述和分析数学问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象,有助于探索解决问题的思路,预测结果。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中发挥着不可替代的作用,而且贯穿在整个数学学习过程中[xiaochen15] 。
推理是数学的基本思维方式,也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。[xiaochen16] 在解决问题的过程中,合情推理有助于探索解决问题的思路,发现结论;演绎推理用于证明结论的正确性。推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。
◆统计与概率
“统计与概率”主要内容有:收集、整理和描述数据,包括简单抽样、整理调查数据、绘制统计图表等;处理数据,包括计算平均数、中位数、众数、极差、方差等;从数据中提取信息并进行简单的推断;简单随机事件及其发生的概率。
在“统计与概率”的教学中,应帮助学生逐渐建立起观念[xiaochen17] ,了解[xiaochen18] 。
数据分析观念包括:了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究,收集数据,通过分析作出判断,体会数据中是蕴涵着信息的;了解对于同样的数据可以有多种分析的方法,需要根据问题的背景选择合适的方法;通过数据分析体验随机性,一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能会是不同的,另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。
在概率的学习中,帮助学生了解随机现象是重要的。在义务教育阶段,所涉及的随机现象都基于简单随机事件:所有可能发生的结果是有限的、每个结果发生的可能性是相同的。
◆综合与实践
“综合与实践”是一类以问题为载体、师生共同参与的学习活动,是帮助学生积累数学活动经验、培养学生应用意识与创新意识的重要途径。针对问题情境,学生综合所学的知识和生活经验,独立思考或与他人合作,经历发现和提出问题、分析和解决问题的全过程,感悟数学各部分内容之间、数学与生活实际之间、数学与其他学科之间的联系,加深对所学数学内容的理解。
“综合与实践”的教学活动应当保证每学期至少一次,可以在课堂上完成,也可以课内与课外相结合。
(四)关于实施建议
为了保证《标准》的顺利实施,《标准》分别对教学活动、学习评价、教材编写等方面提出实施建议。同时,为了更好地说明课程内容,《标准》在相关部分提供了一些案例(参见附录2)。
通过义务教育阶段的数学学习,学生能:
1. 获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。
2. 体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系,运用数学的思维方式进行思考,增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。
3. 了解数学的价值,激发好奇心,提高学习数学的兴趣,增强学好数学的信心,养成良好的学习习惯,具有初步的创新意识和实事求是的科学态度。
总体目标从以下四个方面具体阐述:
知识技能
●经历数与代数的抽象、运算与[xiaochen19] 等过程,掌握数与代数的基础知识和基本技能。
●经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程,掌握图形与几何的基础知识和基本技能。
●经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程,掌握统计与概率的基础知识和基本技能。
●参与综合实践活动,积累综合运用数学知识、技能和方法等解决简单问题的数学活动经验。
数学思考
●建立数感、符号意识和空间观念,初步形成[xiaochen20]
●体会统计方法的意义,发展[xiaochen21] ,感受随机现象。
●在参与观察、实验、猜想、证明、[xiaochen22] 等数学活动中,发展合情推理和演绎推理能力,清晰地表达自己的想法。
●学会独立思考,体会数学的基本思想和思维方式。
问题
解决
●初步学会从数学的角度[xiaochen23] 和提出问题,综合运用数学知识解决简单的实际问题,发展应用意识和[xiaochen24] 。
●获得分析问题和解决问题的一些基本方法,体验解决问题方法的多样性,发展[xiaochen25] 。
●学会与他人合作交流。
●初步形成评价与反思的意识。
情感态度
●积极参与数学活动,对数学有好奇心和求知欲。
●体验获得成功的乐趣,锻炼克服困难的意志,建立学好数学的自信心。
●体会数学的特点,了解数学的价值。
●养成质疑的习惯,形成实事求是的态度。
总体目标的这四个方面,不是互相独立和割裂的,而是一个密切联系、相互交融的有机整体。课程设计和教学活动组织中,应同时兼顾这四个方面的目标。这些目标的整体实现,是学生受到良好数学教育的标志,它对学生的全面、持续、和谐发展,有着重要的意义。数学思考、问题解决、情感态度的发展离不开知识技能的学习,知识技能的学习必须有利于其他三个目标的实现。
第一学段(1-3年级)
知识技能
1.经历从日常生活中抽象出数的过程,理解万以内数的意义,初步认识分数和小数;理解常见的量;体会四则运算的意义,掌握必要的运算技能;在具体情境中,能进行简单的估算。
2.经历从实际物体中抽象出简单几何体和平面图形的过程,了解一些简单几何体和常见的平面图形;感受平移、旋转、轴对称现象;认识物体的相对位置。掌握初步的测量、识图和画图的技能。
3.经历简单的数据收集、整理、分析的过程,了解简单的数据处理方法。
数学思考
1.在运用数及适当的度量单位描述现实生活中的简单现象,以及对运算结果进行估计的过程中,发展数感;在从物体中抽象出几何图形、想象图形的运动和位置的过程中,发展空间观念。
2.能对调查过程中获得的简单数据进行归类,体验数据中蕴涵着信息。
3. 在观察、操作等活动中,能提出一些简单的猜想。
4.能独立思考问题,表达自己的想法。
问题解决
1.能在教师的指导下,从日常生活中发现和提出简单的数学问题,并尝试解决。
2.了解分析问题和解决问题的一些基本方法,知道同一个问题可以有不同的解决方法。
3.体验与他人合作交流解决问题的过程。
4.经历回顾解决问题过程的活动。
情感态度
1.对身边与数学有关的事物有好奇心,能参与数学活动。
2.在他人帮助下,感受数学活动中的成功,能尝试克服困难。
3.了解数学可以描述生活中的一些现象,感受数学与生活有密切联系。
4.能尝试对别人的想法提出建议,知道应该尊重客观事实。
第二学段(4-6年级)
知识技能
1.体验从具体情境中抽象出数的过程,认识万以上的数;理解分数、小数、百分数的意义,了解负数,掌握必要的运算技能;理解估算的意义;能用方程表示简单的数量关系,能解简单的方程。
2.探索一些图形的形状、大小和位置关系,了解一些几何体和平面图形的基本特征;体验简单图形的运动过程,能在方格纸上做简单图形运动后的图形,了解确定物体位置的一些基本方法;掌握测量、识图和画图的基本方法。
3.经历数据的收集、整理和分析的过程,掌握一些简单的数据处理技能;体验随机事件和事件发生的等可能性。
4.能借助数字计算器解决简单的应用问题。
数学思考
1.初步形成数感和空间观念,感受符号和几何直观的作用。
2.进一步认识到数据中蕴涵着信息,发展数据分析观念;感受随机现象。
3.在观察、实验、猜想、验证等活动中,发展合情推理能力,能进行有条理的思考,能比较清楚地表达自我的思考过程与结果。
4. 能独立思考,体会一些数学的基本思想。
问题解决
1.能从社会生活中发现并提出简单的数学问题,并综合运用一些知识加以解决。
2.能探索分析和解决简单问题的有效方法,了解解决问题方法的多样性。
3.从事与他人合作解决问题的活动,尝试解释自己的思考过程。
4.能初步判断结果的合理性,经历整理解决问题过程和结果的活动。
情感态度
1.愿意了解社会生活中与数学相关的信息,主动参与数学学习活动。
2.在他人的鼓励和引导下,体验克服困难、解决问题的过程,相信自己能够学好数学。
3.在运用数学解决问题的过程中,认识数学的价值。
4.初步养成乐于思考、勇于质疑、实事求是等良好品质。
第三学段(7-9年级)
知识技能
1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程,[xiaochen26] 有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数;掌握必要的运算(包括估算)技能;探索具体问题中的数量关系和变化规律,掌握用代数式、方程、不等式、函数进行表述的方法。
2.探索并掌握相交线、平行线、三角形、四边形和圆的基本性质与判定,掌握基本的证明方法和基本的作图技能;探索并理解平面图形的平移、旋转、轴对称;认识投影与视图;[xiaochen27] 。
3.体验数据收集、处理、分析和推断过程,[xiaochen28] ,体验用样本估计总体的过程;进一步认识随机现象,能计算一些[xiaochen29] 事件的概率。
数学思考
1.通过用代数式、方程、不等式、函数等表述数量关系的过程,体会模型的思想,建立符号意识;在研究图形性质和运动、确定物体位置等过程中,进一步发展空间观念;经历借助图形思考问题的过程,[xiaochen30] 。
2.了解利用数据可以进行统计推断,发展建立[xiaochen31]
3.发展合情推理与演绎推理的能力。[xiaochen32]
4.学会独立思考,体会数学的基本思想和思维方式。
问题解决
1.在具体的情境中,能从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题,发展应用意识和实践能力。
2.经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程,体验解决问题方法的多样性。
3.在与他人合作和交流过程中,能较好地理解他人的思考方法和结论。
4.能针对他人所提的问题进行反思,初步形成评价与反思的意识。
情感态度
1.积极参与数学活动,对数学有好奇心和求知欲。
2.感受成功的快乐,体验独自克服困难、解决数学问题的过程,有克服困难的勇气,具备学好数学的信心。
3.在运用数学表述和解决问题的过程中,认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点,体会数学的价值。
4.敢于发表自己的想法、提出质疑,养成独立思考、合作交流等学习习惯。
数与代数
(一)数的认识
1. 在现实情境中理解万以内数的意义,能认、读、写万以内的数,能用数表示物体的个数或事物的顺序和位置。
2. 能说出多位数各数位的名称,初步理解各数位上的数字表示的意义。
3. 理解符号<,=,>的含义,能用符号和词语描述万以内数的大小(参见例1)。
4. 在具体情境中感受大数的意义,并能进行估计(参见例2)。
5. 能结合具体情境初步认识小数和分数,能读、写小数和分数。
6. 能运用数表示日常生活中的一些事物,并进行交流(参见例3)。
(二)数的运算
1. 结合具体情境,体会整数四则运算的意义(参见例4)。
2. 能熟练地口算20以内的加减法和表内乘除法,能口算百以内的加减法和一位数乘除两位数。
3. 能计算三位数的加减法,一位数乘三位数、两位数乘两位数的乘法,三位数除以一位数的除法。能进行简单的整数四则混合运算(两步)。
4. 能比较一位小数的大小,能比较同分母分数(分母小于10)的大小。
5. 会进行同分母分数(分母小于10)的加减运算以及一位小数的加减运算。
6. 能结合具体情境进行估算,并解释估算的过程(参见例5)。
7. 经历与他人交流各自算法的过程。
8. 能运用数和运算解决生活中的简单问题,并能对结果的合理性进行判断。
(三)常见的量
1. 在现实情境中,认识元、角、分,并了解它们之间的关系。
2. 能认识钟表,了解24时记时法;结合自己的生活经验,体验时间的长短(参见例6)。
3. 认识年、月、日,了解它们之间的关系。
4. 在具体生活情境中,感受并认识克、千克、吨,并能进行简单的换算;能估测或测量物体的质量。
5. 结合生活实际,解决与常见的量有关的简单问题。
(四)探索规律
探索简单的变化规律(参见例7、例8)。
图形与几何
(一)图形的认识
1. 能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体。
2. 能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体的形状(参见例9)。
3. 辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形。
4. 通过观察、操作,初步认识长方形、正方形的特征。
5. 会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图。
6. 结合生活情境认识角,了解直角、锐角和钝角。
7. 能对简单几何体和图形进行分类(参见例19)。
(二)测量
1. 结合生活实际,经历用不同方式测量物体长度的过程,体会建立统一度量单位的重要性。
2. 在实践活动中,体会千米、米、厘米的含义,知道分米、毫米,能进行简单的单位换算,能恰当地选择长度单位(参见例10)。
3. 能估测一些物体的长度,并进行测量。
4. 结合实例认识周长,并能测量简单图形的周长,探索并掌握长方形、正方形的周长公式(参见例11)。
5. 结合实例认识面积,体会并认识面积单位(厘米2、分米2、米2),能进行简单的单位换算。
6. 探索并掌握长方形、正方形的面积公式,能估计给定简单图形的面积(参见例12)。
(三)图形的运动
1. 结合实例,感知平移、旋转、轴对称现象(参见例13)。
2. 能辨认简单图形平移后的图形(参见例14)。
3. 通过观察、操作,认识轴对称图形。
(四)图形与位置
1. 会用上、下,左、右,前、后描述物体的相对位置。
2. 给定东、南、西、北四个方向中的一个方向,能辨认其余三个方向,知道东北、西北、东南、西南四个方向,能用这些词语描绘物体所在的方向(参见例15)。
统计与概率
1. 能根据给定的标准或者自己选定的标准,对事物或数据进行分类,感受分类与分类标准的关系(参见例16)。
2. 经历简单的数据收集和整理过程,了解调查、测量等收集数据的简单方法,并运用自己的方式(文字、图画、表格等)呈现整理数据的结果(参见例17、例21)。
3. 通过对数据的简单分析,体会运用数据进行表达与交流的作用,感受数据蕴涵信息(参看例18、例21)。
综合与实践
1. 通过操作活动等,获得一些初步的数学实践活动经验,感受数学在日常生活中的作用,知道能够运用所学的知识和方法解决简单问题。
2. 在操作活动中,知道所要解决问题的目标和步骤。
3. 经历实际操作和解决问题的过程,加深对学习内容的理解,了解所学内容之间的关联。
(参见例19、例20、例21)
数与代数
(一)数的认识
1. 在具体的情境中,认识万以上的数,了解十进制计数法,会用万、亿为单位表示大数。
2. 结合现实情境感受大数的意义,并能进行估计(参见例22)。
3. 会运用数描述事物的某些特征,进一步体会数在日常生活中的作用(参见例23)。
4. 知道2,3,5的倍数的特征,了解公倍数和最小公倍数;在1-100的自然数中,能找出10以内自然数的所有倍数,能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数。
5. 了解公因数和最大公因数;在1-100的自然数中,能找出某个自然数的所有因数,能找出两个自然数的公因数和最大公因数。
6. 了解整数、奇数、偶数、质(素)数、合数。
7. 进一步认识小数和分数(包括带分数和假分数),认识百分数;会进行小数、分数和百分数的转化(不包括将循环小数化为分数) (参见例24)。
8. 能比较小数的大小和分数的大小。
9.在熟悉的生活情境中,了解负数的意义,会用负数表示日常生活中的一些量。
(二)数的运算
1.能笔算三位数乘两位数的乘法,三位数除以两位数的除法。
2.能进行简单的整数四则混合运算(以两步为主,不超过三步)。
3.探索并了解运算律,会应用运算律进行一些简便运算。
4.在具体运算和解决简单实际问题的过程中,体会加与减、乘与除的相互关系。
5.能分别进行简单的小数、分数(不含带分数)加、减、乘、除运算及混合运算(以两步为主,不超过三步)。
6.能解决有关小数、分数和百分数的简单实际问题。
7.经历与他人交流各自算法的过程。
8.在解决具体问题的过程中,能选择合适的估算方法,养成估算的习惯(参见例25、例26)。
9.能借助计算器进行运算,解决简单的实际问题,探索简单的数学规律(参见例27)。
(三)式与方程
1.在具体情境中会用字母表示数。
2.结合简单的实际情境,了解等量关系。
3. 了解方程的作用,能用方程表示简单情境中的等量关系。
4.能解简单的方程(如3x+2=5,2x-x=3)。
(四)正比例、反比例
1.在实际情境中理解比及按比例分配的含义,并能解决简单的问题。
2.通过具体问题认识成正比例的量或反比例的量。
3.能根据给出的有正比例关系的数据在方格纸上画图,并根据其中一个量的值估计另一个量的值(参见例28)。
4.能找出生活中成正比例和成反比例量的实例,并进行交流。
(五)探索规律
探求给定事物中隐含的规律或变化趋势(参见例29、例30)。
图形与几何
(一)图形的认识
1.结合实例了解线段、射线和直线。
2.体会两点间所有连线中线段最短,知道两点间的距离。
3.知道平角与周角,了解周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系。
4.结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交(包括垂直)关系。
5.通过观察、操作,认识平行四边形、梯形和圆,会用圆规画圆,知道扇形。
6.认识三角形,通过观察、操作,了解三角形两边之和大于第三边、三角形内角和是180°。
7.认识等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。
8.能辨认从不同方向(前面、侧面、上面)看到的物体的形状图(参见例31)。
9.通过观察、操作,认识长方体、正方体、圆柱和圆锥,认识长方体、正方体和圆柱的展开图。
(二)测量
1.能用量角器量指定角的度数,能画指定度数的角,会用三角尺画30°,45°,60°,90°角。
2.探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式。
3.认识面积单位:千米2、公顷。
4.通过操作,了解圆的周长与直径的比为定值,掌握圆的周长公式;探索并掌握圆的面积公式。
5.会用方格纸估计不规则图形的面积(参见例32)。
6.通过实例了解体积(包括容积)的意义及度量单位(米3、分米3、厘米3、升、毫升),能进行单位之间的换算,感受1米3、1厘米3以及1升、1毫升的实际意义。
7.结合具体情境,探索并掌握长方体、正方体、圆柱的体积和表面积以及圆锥体积的计算方法。
8.探索某些实物(如土豆等)体积的测量方法(参见例33)。
(三)图形的运动
1.进一步认识轴对称图形及其对称轴,能在方格纸上画出轴对称图形的对称轴;能在方格纸上补全一个简单的轴对称图形。
2.通过观察实例,在方格纸上认识图形的平移与旋转,能在方格纸上按水平或垂直方向将简单图形平移,能在方格纸上将简单图形旋转90°(参见例34)。
3.能利用方格纸等按一定比例将简单图形放大或缩小。
4.欣赏生活中的图案,运用平移、旋转和轴对称在方格纸上设计简单的图案。
(四)图形与位置
1.了解比例尺;在具体情境中,会按给定的比例进行图上距离与实际距离的换算。
2.能根据物体相对于参照点的方向和距离确定其位置。
3.会绘制并描述简单的路线图(参见例35)。
4.能在方格纸上用数对表示位置,知道数对(限于正整数)与方格纸上点的对应;在具体情境中,体验利用方格纸确定数对的位置的过程(参见例36)。
统计与概率
(一)简单数据统计过程
1.经历简单的收集、整理、描述和分析数据的过程(可使用计算器)。
2.会根据实际问题设计简单的调查表,选择适当的方法(如调查、试验、测量)收集数据。
3.认识条形统计图、扇形统计图、折线统计图;能根据分析问题的需要,选择适当的统计图(参见例37、例38)。
4.体会平均数的意义,能计算平均数,能用自己的语言解释其实际意义(参见例37)。
5.能从报纸杂志、电视等媒体中,有意识地获得一些数据信息,并能读懂简单的统计图表(参见例38)。
6.能解释统计结果,根据结果作出简单的判断和预测,并能进行交流(参见例37)。
(二)随机现象发生的可能性
1.结合具体情境,了解简单的随机现象;能列出简单的随机现象中所有可能发生的结果(参看例39)。
2.通过实验、游戏等活动,感受随机现象结果发生的可能性是有大小的,能对一些简单的随机现象发生的可能性大小作出定性描述,并和同学交流(参看例39)。
综合与实践
1. 经历有目的、有设计、有步骤的综合与实践活动,积累数学活动的经验。
2.结合实际情境,体验发现和提出问题、分析和解决问题的过程。
3.初步获得在给定目标下,设计解决问题方案的经验。
4. 通过应用和反思,加深对所用知识和方法的理解,了解所学知识之间的联系。
(参见例40、例41、例42、例43)
数与代数
(一)数与式
1.有理数
(1)理解有理数的意义,能用数轴上的点表示有理数,能比较有理数的大小。
(2)借助数轴理解相反数和绝对值的意义,掌握求有理数的相反数与绝对值的方法,a|的含义(a表示有理数)[xiaochen33] 。
(3)理解乘方的意义,掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步以内为主)。
(4)理解有理数的运算律,能运用运算律简化运算。
(5)[xiaochen34] (参见例44)。
2.实数
(1)了解平方根、算术平方根、立方根的概念,会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。
(2)了解乘方与开方互为逆运算,会用平方运算求[xiaochen35] 的平方根,会用立方运算求[xiaochen36] 的立方根,会用计算器求平方根和立方根。
(3)了解无理数和实数的概念,了解实数与数轴上的点一一对应,[xiaochen37]
(4)能用有理数估计一个无理数的大致范围(参见例45)。
(5)[xiaochen38] ,在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,并按问题的要求对结果取近似值。
(6)了解二次根式、[xiaochen39] ,了解二次根式加、减、乘、除运算法则,[xiaochen40] 。
3.代数式
(1)[xiaochen41] 参见例46)。
(2)能分析简单问题中的数量关系,并用代数式表示(参见例47)。
(3)会求代数式的值;能根据特定的问题查阅资料,找到所需要的公式,并会代入具体的值进行计算。
4.整式与分式
(1)了解整数指数幂的意义和基本性质,会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示)。
(2)了解整式的概念,[xiaochen42] 能进行简单的整式加法和减法运算;能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及[xiaochen43] )。
(3)能推导乘法公式:(a+b)( a-b) = a 2- b 2;(a+ b)2 = a 2 + 2ab + b 2, 了解公式的几何背景,并能利用公式进行简单计算(参见例48)。
(4)能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解([xiaochen44] 是正整数)。
(5)了解分式和最简分式的概念,能利用分式的基本性质进行约分和通分;能进行简单的分式加、减、乘、除运算。
(二)方程与不等式
1.方程与方程组
(1)能根据具体问题中的数量关系列出方程,体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型(参见例47、例49)。
(2)经历[xiaochen45] 、画图或利用计算器等估计方程解的过程(参见例50)。
(3)[xiaochen46]
(4)能解一元一次方程、[xiaochen47] 。
(5)掌握代入消元法和加减消元法,能解简单的二元一次方程组和[xiaochen48]
(6)理解配方法,能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程(参见例51)。
(8)了解一元二次方程的根与系数的关系(不要求应用这个关系解决其他问题)。[xiaochen49]
(9)能根据具体问题的实际意义,检验方程的解是否合理。
2.不等式与不等式组
(1)结合具体问题,了解不等式的意义,探索不等式的基本性质(参见例52)。
(2)能解简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集;会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集。
(3)能根据具体问题中的数量关系,[xiaochen50] ,解决简单的问题。
(三)函数
1.函数
(1)探索简单实例中的数量关系和变化规律,了解常量、变量的意义。
(2)结合实例,了解函数的概念和三种表示法,能举出函数的实例。
(3)能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析(参见例53)。
(4)能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围,并会求出函数值。
(5)能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系(参见例54)。
(6)结合对函数关系的分析,能对变量的变化情况进行初步讨论(参见例55)。
2.一次函数
(1)结合具体情境体会一次函数的意义,能根据已知条件确定一次函数的解析表达式(参见例56)。
(2)[xiaochen51]
(3)能画出一次函数的图像,根据一次函数的图像和解析表达式 y = kx + b (k≠0)探索并理解k>0或k<0时,图像的变化情况。
(4)理解正比例函数。
(5)体会一次函数与[xiaochen52] 二元一次方程组的关系。
(6)能用一次函数解决简单实际问题。
3.反比例函数
(1)结合具体情境体会反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数的表达式。
(2)能画出反比例函数的图像,根据反比例函数的图像和解析表达式 y = (k≠0)探索并理解k>0或k<0时,图像的变化情况。
(3)能用反比例函数解决简单实际问题。
4.二次函数
(1)通过对实际问题的分析,体会二次函数的意义。
(2)[xiaochen53]
(3)会用描点法画出二次函数的图像,通过图像了解二次函数的性质。
(4)[xiaochen54] 并能由此得到二次函数图像的顶点坐标,说出图像的开口方向,画出图像的对称轴,并能解决简单实际问题。
(5)会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。
[xiaochen55]
(一)图形的性质[1]
.点、线、面、角[xiaochen56]
(1)通过实物和具体模型,了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等(参见例57)。

(3)直观地了解平面上两条直线(不重合,下同)之间的关系:相交与不相交。
(4)掌握基本事实:两点确定一条直线。
(5)掌握基本事实:两点间直线段最短。
(6)理解两点间距离的意义,能度量两点之间的距离。
[xiaochen57] (7)理解角的概念,能比较角的大小。
(8)认识度、分、秒,会对度、分、秒进行简单的换算,并计算角的和、差。
2.相交线与平行线
(1)理解对顶角、余角、补角等概念,探索并掌握对顶角相等、同角(等角)的余角相等,同角(等角)的补角相等的性质(参见例58)。
(2)理解垂线、垂线段等概念,能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。
(3)理解点到直线的距离的意义,[xiaochen58] 。
(4)掌握基本事实:过一点有且只有一条直线与这条直线垂直。
(5[xiaochen59]
(6)理解平行线概念;掌握基本事实:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么两直线平行。
(7)掌握基本事实:过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
(8)掌握平行线的性质定理:两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等;[xiaochen60]
(9)能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。
(10)探索并证明平行线的判定定理:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等(或同旁内角互补),那么两直线平行;探索并证明平行线的性质定理:两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等(或同旁内角互补)。
(11)[xiaochen61]
3.三角形
(1)理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念,[xiaochen62] 了解三角形的稳定性。
(2)探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。证明三角形的任意两边之和大于第三边。
(4)掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(参见例60)。
(5)掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(参见例60)。
(6)掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等。
[xiaochen63] (7)证明定理:两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等。
(8)探索并证明角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等;反之,角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
(9)理解线段垂直平分线的概念,探索并证明线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;反之,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
(10)了解等腰三角形的概念,探索并证明等腰三角形的性质定理:等腰三角形的两底角相等;底边上的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形。探索等边三角形的性质定理:等边三角形的各角都等于60°,以及等边三角形的判定定理:三个角都相等的三角形(或有一个角是60°的等腰三角形)是等边三角形。
(11)了解直角三角形的概念,探索并掌握直角三角形的性质定理:直角三角形的两个锐角互余,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。
(12)探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题。
(13)探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。
(14)解三角形重心的概念。[xiaochen64]
4.[xiaochen65]
(1)[xiaochen66] 探索并掌握多边形内角和与外角和公式。
(2)理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念,以及它们之间的关系;了解四边形的不稳定性。
(3)探索并证明平行四边形的性质定理:平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分,平行四边形的判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形。
(4)[xiaochen67]
(5)探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理:矩形的四个角都是直角,对角线相等;菱形的四条边相等,对角线互相垂直;以及它们的判定定理:三个角是直角的四边形是矩形,对角线相等的平行四边形是矩形;四边相等的四边形是菱形,对角线互相垂直的平行四边形是菱形。正方形具有矩形和菱形的一切性质(参见例61)。
(6)探索并证明三角形的中位线定理。
5.圆[2]
(1)理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念,了解等圆、等弧的概念;探索并了解点与圆的位置关系。
(2)[xiaochen68]
(3)探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系,了解并证明圆周角定理及其推论:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半;直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径;[xiaochen69]
(4)知道三角形的内心和外心。
(5)了解直线和圆的位置关系,掌握切线的概念。
(6)探索切线与过切点的半径的关系:切线垂直于过切点的半径;反之,过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。会用三角尺过圆上一点画圆的切线。
(7)[xiaochen70]
(8)了解圆与圆的位置关系。
(9)会计算圆的弧长、扇形的面积。
[xiaochen71] 。
6.尺规作图
(1)能用尺规完成以下基本作图:作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作一个角的平分线;作一条线段的垂直平分线;[xiaochen72]
(2)会利用基本作图作三角形:已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形;已知底边及底边上的高线作等腰三角形;[xiaochen73]
(3)会利用基本作图完成:过不在同一直线上的三点作圆;作三角形的外接圆、内切圆;[xiaochen74]
(4)在尺规作图中,了解作图的道理,保留作图的痕迹,[xiaochen75] 。
7.定义、命题、定理
[xiaochen76] 。
(2)结合具体事例,会区分命题的条件和结论,了解原命题及其逆命题的概念。识别两个互逆的命题,知道原命题成立其逆命题不一定成立。
(3)知道证明的意义和证明的必要性(参见例76),[xiaochen77] (参见例63),知道证明的过程可以有不同的表达形式,学会综合法证明的格式(参见例64)。
(4)通过实例体会反证法的含义。了解反例的作用,知道利用反例可以判断一个命题是错误的。
图形的变化[xiaochen78]
1[xiaochen79]
(1)通过具体实例了解轴对称的概念,探索它的基本性质:成轴对称的两个图形中,对应点的连线被对称轴垂直平分(参见例65)。
(2)[xiaochen80]
(3)了解轴对称图形的概念。探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性。
(4)认识和欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形。
2.[xiaochen81]
(1)通过具体实例认识平面图形的旋转。探索它的基本性质:一个图形和它经过旋转所得到的图形中,对应点到旋转中心距离相等,两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等(参见例65)。
(2)了解中心对称、中心对称图形的概念,[xiaochen82]
(3)探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性。
(4)认识和欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形。
3.[xiaochen83]
(1)通过具体实例认识平移,探索它的基本性质:一个图形和它经过平移所得的图形中,两组对应点的连线平行且相等(参见例65)。
(2)认识和欣赏平移在自然界和现实生活中的应用。
(3)运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计。
4.图形的相似[3]
(1)了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段;通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。
(2)通过具体实例认识图形的相似。了解对应角分别相等、对应边分别成比例的多边形叫做相似多边形。[xiaochen84] 。
[xiaochen85]
(4)探索并证明相似三角形的判定定理:两角分别相等的两个三角形相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边成比例的两个三角形相似。
[xiaochen86]
(6)了解图形的位似,知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。
(7)会利用图形的相似解决一些简单的实际问题(参见例76)。
(8)[xiaochen87] 探索并认识锐角三角函数(sinA,cosA,tanA),知道30°,45°,60°角的三角函数值。
(9)会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值求它的对应锐角。
(10)能用锐角三角函数[xiaochen88] ,能用相关知识解决一些简单的实际问题。
5.[xiaochen89]
(1)通过背景丰富的实例,了解中心投影和平行投影的概念。
(2)会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的[xiaochen90] ,能判断简单物体的视图,并会根据视图描述简单的几何体。
(3)了解直棱柱、[xiaochen91] 圆锥的侧面展开图,能根据展开图想象和制作实物模型。
(4)通过实例,了解上述视图与展开图在现实生活中的应用。
(三)图形与坐标
1.坐标与图形的位置
(1)结合丰富的实例进一步体会用有序数对可以表示物体的位置。
(2)理解平面直角坐标系的有关概念,能画出直角坐标系;在给定的直角坐标系中,根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标。
(3)[xiaochen92] 能建立适当的直角坐标系,描述物体的位置(参见例66)。
[xiaochen93]
(5)[xiaochen94] 参见例67)。
2[xiaochen95]
(1)在直角坐标系中,以坐标轴为对称轴,能写出一个已知顶点坐标的直线形的对称图形的顶点坐标,并知道对应顶点坐标之间的关系。
(2)在直角坐标系中,能写出一个已知顶点坐标的直线形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标,并知道对应顶点坐标之间的关系。
(3)在直角坐标系中,探索并了解将一个直线形依次沿两个坐标轴平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系,体会图形顶点坐标的变化。
(4)在直角坐标系中,探索并了解将一个直线形的顶点坐标(有一个顶点为原点、有一个边在横坐标轴上)分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的,体会图形顶点坐标的变化。
统计与概率
(一)抽样与数据分析
1. 经历收集、整理、描述和分析数据的活动,了解数据分析的过程;能用计算器处理较为复杂的数据。
2. 体会抽样的必要性,通过案例了解简单随机抽样(参见例68)。
3. 会制作扇形统计图,能用统计图直观、有效地描述数据。
4. 理解平均数的意义,能计算中位数、众数、加权平均数,了解数据的集中趋势(参见例69)。
5. 体会刻画数据离散程度的意义,会计算[xiaochen96] 的方差(参见例70)。
6. 能画频数直方图,能利用频数直方图解释数据中蕴涵的信息(参见例79)。
7. 体会样本与总体关系,知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数、总体方差。
8.[xiaochen97]
事件发生的概率[xiaochen98]
1. 能列出随机现象所有可能的结果,以及指定事件发生的所有可能结果,了解事件发生的概率(参看例72、例73)。
2. 知道通过大量地重复试验,可以用频率来估计概率(参看例74)。
综合与实践
1.通过对有关问题的探讨,了解所学过的数与代数、图形与几何、统计与概率知识之间的关联,加深对有关知识的理解。
2.进一步经历发现问题和提出问题的过程,积累数学活动经验。
3.结合实际背景,在给定目标下,设计解决问题的方案,进一步体验分析问题和解决问题的过程,发展应用意识和能力。
(参见例75、例76、例77、例78、例79、例80)
教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。
数学教学应根据具体的教学内容,注意使学生在获得间接经验的同时也能够有机会获得直接经验,即从学生实际出发,创设有助于学生自主学习的问题情境,引导学生通过实践、思考、探索、交流等,获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验,促使学生主动地、富有个性地学习,不断提高发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力。
在数学教学活动中,教师要把基本理念转化为自己的教学行为, 处理好教师讲授与学生自主学习的关系,注重启发学生积极思考;发扬教学民主,当好学生数学活动的组织者、引导者、合作者;激发学生的学习潜能,鼓励学生大胆创新与实践;创造性地使用教材,积极开发、利用各种教学资源,为学生提供丰富多彩的学习素材;关注学生的个体差异,有效地实施有差异的教学,使每个学生都得到充分的发展;合理地运用现代信息技术,有条件的地区要尽可能合理、有效地使用计算机和有关软件,提高教学效益。
1.数学教学活动要注重课程目标的整体实现
为使每个学生都受到良好的数学教育,数学教学不仅要使学生获得数学的知识技能,而且要把“知识技能”、“数学思考”、“问题解决”、“情感态度”四个方面目标有机结合,整体实现课程目标。
课程目标的整体实现需要日积月累,在日常的教学活动中,应努力挖掘教学内容中可能蕴涵的、与上述四个方面目标有关的教育价值,通过长期的教学过程,逐渐实现课程的整体目标。因此,无论是设计、实施课堂教学方案,还是组织各类教学活动,不仅要重视学生获得知识技能,而且要激发学生的学习兴趣,通过独立思考或者合作交流感悟数学的基本思想,引导学生在参与数学活动的过程中积累基本经验,帮助学生形成良好的学习习惯。
例如,关于“零指数”教学方案的设计可作如下考虑:教学目标不仅要包括了解零指数幂的“规定”、会进行简单计算,还要包括感受这个“规定”的合理性,并在这个过程中学会数学思考、感悟理性精神(参见例81)。
2.重视学生在学习活动中的主体地位
有效的数学教学活动是教师教与学生学的统一,应体现“以人为本”的理念,促进学生的全面发展。
(1)学生是数学学习的主体,在积极参与学习活动的过程中不断得到发展。
学生获得知识,可以通过接受学习,也可以通过自主探索等方式,但必须建立在自己思考的基础上;学生应用知识并逐步形成技能,离不开自己的实践;学生在获得知识技能的过程中,只有亲身参与教师精心设计的教学活动,才能在数学思考、问题解决和情感态度方面得到发展(参见例82)。
(2)教师应成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者,为学生的发展提供良好的环境和条件。
教师的“组织”作用主要体现在两个方面:第一,教师应当准确把握教学内容的数学本质和学生的实际情况,确定合理的教学目标,设计一个好的教学方案。第二,在教学活动中,教师要选择适当的教学方式,因势利导、适时调控、努力营造师生互动、生动活泼的课堂氛围,形成有效的学习活动。
教师的“引导”作用主要体现在:通过恰当的问题,或者准确、清晰、富有启发性的讲授,引导学生积极思考、求知求真,激发学生的好奇心;通过恰当的归纳和示范,使学生理解知识、掌握技能、积累经验;能关注学生的差异,用不同层次的问题或教学手段,引导每一个学生都能积极参与学习活动。
教师与学生的“合作”主要体现在:教师以平等、尊重的态度鼓励学生积极参与教学活动,启发学生共同探索,与学生一起感受成功和挫折、分享发现和成果。
做好教学的组织者、引导者、合作者,教师就起到了主导作用。
(3)处理好学生主体地位和教师主导作用的关系。
好的教学活动,应是学生主体地位和教师主导作用的和谐统一。一方面,学生主体地位的真正落实,依赖于教师主导作用的有效发挥;另一方面,有效发挥教师主导作用的标志,是学生能够真正成为学习的主体,得到全面的发展(参见例30、例49)。
启发式教学是处理好学生主体地位和教师主导作用关系的有效途径。教师富有启发性的讲授,创设情境、设计问题,引导学生自主探索、合作交流,组织学生操作实验、观察现象、提出猜想、推理论证等,都能有效地启发学生的思考,使学生成为学习的主体。
3.注重学生对基础知识、基本技能的理解和掌握
“知识技能”既是学生发展的基础性目标,又是落实“数学思考”、“问题解决”、“情感态度”目标的载体。
(1)数学知识的教学,应注重学生对所学知识的理解,体会数学知识之间的关联。
学生掌握数学知识,不能依赖死记硬背,而应以理解为基础,并在知识的应用中不断巩固和深化。为了帮助学生真正理解数学知识,教师应注重数学知识与学生生活经验的联系、与学生学科知识的联系,组织学生开展实验、操作、尝试等活动,引导学生进行观察、分析,抽象概括,运用知识进行判断。教师还应揭示知识的数学本质及其体现的数学思想,帮助学生理清相关知识之间的区别和联系等。
数学知识的教学,要注重知识的“生长点”与“延伸点”,把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中,注重知识的结构和体系,处理好局部知识与整体知识的关系,引导学生感受数学的整体性,体会对于某些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解。
(2)在基本技能的教学中,不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤,还要使学生理解程序和步骤的道理。例如,对于整数乘法计算,学生不仅要掌握如何进行计算,而且要知道相应的算理;对于尺规作图,学生不仅要知道作图的步骤,而且要能知道实施这些步骤的理由。
基本技能的形成,需要一定量的训练,但要适度,不能依赖机械的重复操作,要注重训练的实效性。教师应把握技能形成的阶段性,根据内容的要求和学生的实际,分层次地落实。
4.引导学生积累数学活动经验、感悟数学思想
数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中,是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括,如归纳、演绎、抽象、转化、分类、模型、数形结合、随机等。学生只有积极参与教学过程,独立思考、合作交流、积累数学活动经验,才能逐步感悟这些思想。
(1)合理创设情境。
教学中应当努力创设源于学生生活的现实情境。好的“现实情境”,应当是学生熟悉的、简明的、有利于引向数学本质的、真实或合理的。
此外,教学中也可以根据具体内容创设其他类型的情境,包括根据已有数学知识创设的情境、根据已有其他学科知识创设的情境。
(2)引导学生自主探索。
数学知识的形成以及逐渐完善的过程中往往蕴涵着一定的数学思想。在教学活动中,教师应选择适当的形式和素材组织学生进行自主探索。探索活动的价值不仅在于获得知识,还包括引导学生在探索的过程中积累基本的数学活动经验,感悟基本的数学思想。
有效地开展探索活动,首先要选择合适的问题,还需要整体设计探索活动(参见例83、例84)。
组织学生开展探索活动应当注意以下几点:
① 鼓励学生在独立思考的基础上,与他人合作交流。没有每个学生的独立思考,合作交流就缺乏基础;没有同伴间的合作交流,个人的思考有时难以深入。此外,适当的合作交流,也有利于学生逐渐形成良好的身心素质。
② 课堂教学的时间是有限的,教师必须把握好学生自主探索活动的时间,给最终的归纳总结留有余地。教师需要在实践中不断提高自己组织、引导学生开展探索活动的能力,提高探索活动的实效。
③ 给学生自主探索适当的空间。探索过程中获得的结果固然重要,探索过程本身也是有价值的。
④ 处理好学生自主探索与教师示范的关系。对于学生的探索活动,教师不仅要给予启发、引导,而且应适时地进行归纳,示范阶段性结论,明晰进一步探索的思路。
⑤ 对于进行自主探索有困难的学生,教师应给以具体的帮助、鼓励和指导,努力使他们也能参与探索活动并积极地思考。
5.关注学生情感态度的发展
根据课程目标,广大教师要把落实情感态度的目标作为己任,努力把情感态度目标有机地融合在数学教学过程之中。设计教学方案、进行课堂教学活动时,应当经常考虑如下问题:
如何引导学生积极参与教学过程?
如何组织学生探索,鼓励学生创新?
如何引导学生感受数学的价值?
如何使他们愿意学,喜欢学,对数学感兴趣?
如何让学生体验成功的喜悦,从而增强自信心?
如何引导学生善于与同伴合作交流,既能理解、尊重他人的意见,又能独立思考、大胆质疑?
如何让学生做自己能做的事,并对自己做的事情负责?
如何帮助学生锻炼克服困难的意志?
如何培养学生良好的学习习惯?
在教育教学活动中,教师要尊重学生,以强烈的责任心,严谨的治学态度,健全的人格感染和影响学生;要不断提高自身的数学素养,善于挖掘教学内容的教育价值;要在教学实践中善于用《标准》的理念分析各种现象,恰当地进行养成教育。
例如,当学生知道自己课堂练习有误、能够改正却又不努力改正时,教师就应该对学生说:“你已经知道解题有错误,必须自己改正,相信你自己能够改正。”这里,“必须自己改正”就是要求学生“对自己能做的事负责任”,“相信你自己能够改正”则是给学生以鼓励,激发学生的自信心。
又如,学生不能合适地回答教师的课堂提问时,教师不应随意地打断学生的回答,而应倾听学生的意见,也不要以自己预设的“标准”简单地否定学生的意见,而应机敏地判断学生的解答是否具有合理的成分并加以恰当的引导。
6.教学中应当注意的几个关系
(1)“预设”与“生成”的关系。
教学方案是教师对教学过程的“预设”,教学方案的形成依赖于教师对教材的理解、钻研和再创造。理解和钻研教材,应以《标准》为依据,把握好教材的编写意图和教学内容的教育价值;对教材的再创造,集中表现在:能根据所教班级学生的实际情况,选择贴切的教学素材和教学流程,准确地体现基本理念和内容标准规定的要求。
实施教学方案,是把“预设”转化为实际的教学活动。在这个过程中,师生双方的互动往往会“生成”一些新的教学资源,这就需要教师能够及时把握,因势利导。例如,学生不能很好地理解教师“预设”问题的意图时,学生对教师的讲授提出“预设”没有想到的质疑时,学生的活动进展与教师的“预设”有差异时,这都需要教师适时调整预案,以使教学活动收到更好的效果。
(2)面向全体学生与关注学生个体差异的关系。
教学活动应努力使全体学生达到课程目标的基本要求,同时要关注学生的个体差异。
对于学习有困难的学生,教师要给予及时的关注与帮助,鼓励他们主动参与数学学习活动,并尝试用自己的方式解决问题、发表自己的看法,要及时地肯定他们的点滴进步,耐心地引导他们分析产生困难或错误的原因,并鼓励他们自己去改正,从而增强他们学习数学的兴趣和信心。对于学有余力并对数学有兴趣的学生,教师要为他们提供足够的材料和思维空间,指导他们阅读,发展他们的数学才能。
在教学活动中,要鼓励与提倡解决问题策略的多样化,恰当评价学生在解决问题过程中所表现出的不同水平;问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等要尽可能地让所有学生都能主动参与,提出各自解决问题的策略,并引导学生通过与他人的交流选择合适的策略,丰富数学活动的经验,提高思维水平。
(3)合情推理与演绎推理的关系。
推理贯穿于数学教学的始终,推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序渐进的过程。义务教育阶段要注重学生思考的条理性,不要过分强调推理的形式。
推理包括合情推理和演绎推理。教师在教学过程中,应该设计适当的学习活动,引导学生通过观察、尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律,猜测某些结论,发展合情推理能力;通过实例使学生逐步意识到,结论的正确性需要演绎推理的确认,可以根据学生的年龄特征提出不同程度的要求。
在第三学段中,应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展,使学生知道合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式。“证明”的教学应关注学生对证明必要性的感受,对证明基本方法的掌握和证明过程的体验。证明命题时,应要求证明过程及其表述符合逻辑,清晰而有条理(参见例62、例64)。此外,还可以恰当地引导学生探索证明同一命题的不同思路和方法,进行比较和讨论,激发学生对数学证明的兴趣,发展学生思维的广阔性和灵活性。
(4)使用现代信息技术与教学手段多样化的关系。
合理地应用现代信息技术,注重信息技术与课程内容的整合,能有效地改变教学方式,提高课堂教学的效益。有条件的地区,教学中要尽可能地使用计算器、计算机以及有关软件;暂时没有这种条件的地区,一方面要积极创造条件改善教学设施,另一方面广大教师应努力自制教具以弥补教学设施的不足。
用计算器完成较为繁杂的计算,要以学生理解并能正确应用公式、法则进行计算为基础。课堂教学、课外作业、实践活动中,应当根据内容标准的要求,允许学生使用计算器,还应当鼓励学生用计算器进行探索规律等活动(参见例27、例48)。
现代信息技术的作用不能完全替代原有的教学手段,其真正价值在于实现原有的教学手段难以达到甚至达不到的效果。例如,利用计算机展示函数图象、几何图形的运动变化过程;从数据库中获得数据,绘制合适的统计图表;利用计算机的随机模拟结果,引导学生更好地理解随机事件以及随机事件发生的概率;等等。
在应用现代信息技术的同时,教师还应注重课堂教学的板书设计。必要的板书有利于实现学生的思维与教学过程同步,有助于学生更好地把握教学内容的脉络。
评价的主要目的是全面了解学生数学学习的过程和结果,激励学生学习和改进教师教学。评价应以课程目标和内容为依据,体现基本理念,全面评价学生在知识技能、数学思考、问题解决和情感态度等方面的表现。
评价不仅要关注学生某一阶段的学习结果,更要关注学生在学习过程中的发展和变化。应采用多样化的评价方式,合理利用评价结果,发挥评价的激励作用,保护学生的自尊心和自信心。通过评价所得到的信息,可以了解学生达到的水平和存在的问题,帮助教师进行总结与反思,调整和改善教学内容和教学过程。
1. 基础知识和基本技能的评价
对基础知识和基本技能的评价,应以各学段的具体目标和要求为标准,考查学生对基础知识和基本技能的理解和掌握程度,以及在学习基础知识与基本技能过程中的表现。在对学生学习基础知识和基本技能的结果进行评价时,应该很好地把握“了解、理解、掌握、应用”不同层次的要求。在对学生基础知识与基本技能学习过程进行评价时,应依据“经历、体验、探索”几个层次的要求,采取灵活多样的方法,定性定量结合、定性评价为主。
每一个学段的目标是该学段结束时学生应达到的要求,教师应根据实际确定阶段性目标。例如,下表是对第一学段有关计算技能的基本要求,这些要求是在学段结束时应达到的,评价时应注意把握尺度。
表1  第一学段计算技能评价要求
学习内容
正确率
速度要求
20以内的加减法和表内乘除法口算
95%
8-10题/分
三位数以内的加减法
90%
2-3题/分
两位数乘两位数
90%
1-2题/分
一位数除两位或三位数的除法
90%
1-2题/分
教师应允许一部分学生经过一段时间的努力,随着数学知识与技能的积累逐步达到学段目标。例如,在实施评价时,可以对部分学生采取 “延迟评价”的方式,给学生再次提供机会,使他们看到自己的进步,树立学好数学的信心。
2. 数学思考和问题解决的评价
数学思考和问题解决的评价要依据总体目标和学段目标的要求,体现在整个数学学习过程中。
对数学思考和问题解决的评价应当采用多种形式和方法,要重视在平时教学和具体的问题情境中进行。例如,在第二学段,教师可以设计下面的活动,评价学生数学思考和问题解决的能力:
用长为50厘米的细绳围成一个边长为整数厘米的长方形,怎样才能使面积达到最大?
在对学生进行评价时,教师可以关注以下几个不同的层次:
第一,学生是否能理解题目的意思,能否思考出解决问题的策略,如通过画图进行尝试;
第二,学生能否列举若干满足条件的长方形,通过列表等形式将其进行有序排列;
第三,在观察、比较的基础上,学生能否发现长和宽发生变化时,面积的变化规律,并猜测问题的结果;
第四,对猜测的结果给予验证;
第五,学生能否猜想当长和宽的变化不限于整数厘米时,面积何时最大。
为此,教师可以根据实际情况,设计有层次的问题评价学生的不同水平。例如,设计下面的问题:
(1)找出三个满足条件的长方形,记录下长方形的长、宽和面积,并依据长或宽的大小有序地排列出来。
(2)观察排列的结果,探索长方形的长和宽发生变化时,面积相应的变化规律。猜测当长和宽各为多少厘米时,长方形的面积最大。
(3)列举满足条件的长和宽的所有可能结果,验证猜测。
(4)猜想:如果不限制长方形的长和宽为整数厘米,怎样才能使它的面积最大?
教师可以预设目标:对于第二学段的学生,能够完成第(1)、(2)题就达到基本要求,对于能完成第(3)、(4)题的学生,应给予与充分的肯定。
学生解决问题的策略可能与预设有所不同,教师应给予适当的评价。
3. 情感态度的评价
情感态度的评价应依据课程目标的要求,采用适当的方法进行。主要方式有课堂观察、活动记录、课后访谈等。
情感态度的评价主要在平时教学过程中进行,注重考查和记录学生在不同阶段情感态度的状况和发生的变化。例如,可以设计下面的评价表,记录、整理和分析学生参与数学活动的情况。
表2  参与数学活动情况的评价表
学生姓名:     时间:        活动内容:
评价内容
优秀
良好
一般
参与的主动性
愿意思考问题
愿意与他人合作
愿意表达与交流
对于其他的教学活动,教师可以根据实际情况设计类似的评价表,也可以根据需要设计学生情感态度的综合评价表。
4. 注重对学生数学学习过程的评价
学生在知识技能、数学思考、问题解决和情感态度等方面的表现不是孤立的,是相互联系的整体,这些方面的发展综合体现在数学学习过程之中。在评价学生每一个方面表现的同时,要注重对学生学习过程的整体评价,分析学生在不同阶段的发展变化。评价时应注意记录、保留和分析学生在不同时期的学习表现和学业成就。
例如,可以设计下面的课堂观察表用于记录学生在课堂中的表现,积累一定数量的课堂观察,可以综合了解学生的学习表现以及变化情况。
表3  课堂观察表
上课时间:               科目:               内容:
项目






课堂参与
提出或回答问题
合作与交流
课堂练习
知识技能的掌握
思维与解题
其他
说明:纪录时,可以用3表示优,2表示良,1表示一般,等等。
5. 评价主体的多元化和评价方式的多样性
评价时,可以采取教师评价、学生自我评价、学生相互评价、家长评价等方式,可以综合应用这些评价,对学生的学习情况和教师的教学情况进行全面的考查。例如,每一个学习单元结束时,教师可以要求学生自我设计一个“学习小结”,用合适的形式(表、图、卡片、电子文本等)归纳学到的知识和方法,学习中的收获,遇到的问题,等等。教师可以通过学习小结对学生的学习情况进行评价,也可以组织学生将自己的学习小结在班级展示交流,通过这种形式总结自己的进步,反思自己的不足以及需要改进的地方,汲取他人值得借鉴的经验。条件允许时,可以请家长参与评价。
评价方式多样化体现在多种评价方法的运用,包括书面测验、口头测验、活动报告、课堂观察、课后访谈、课内外作业、成长记录等等,在条件允许的地方,也可以采用网上交流的方式进行评价。每种评价方式都具有各自的特点,教师应结合学习内容及学生学习的特点,选择适当的评价方式。例如,可以通过课堂观察了解学生学习的过程与学习态度,从作业中了解学生基础知识与基本技能掌握的情况,从探究活动中了解学生独立思考的习惯和合作交流的意识,从成长记录中了解学生的发展变化。
6. 恰当地呈现和利用评价结果
评价结果的呈现应采用定性与定量相结合的方式。第一学段的评价应当以描述性评价为主,第二学段采用描述性评价和等级评价相结合的方式,第三学段可以采用描述性评价和等级(或百分制)评价相结合的方式。
评价结果的呈现和利用应有利于增强学生学习数学的自信心,提高学生学习数学的兴趣,养成良好的学习习惯,促进学生的发展。应该更多地关注学生的进步,关注学生已经掌握了什么,获得了哪些提高,具备了什么能力,还有什么潜能,在哪些方面还存在不足,等等。
例如,下面是对一个学生关于“统计与概率”学习的书面评语:
本学期我们学习了收集、整理和表达数据。王小明同学通过自己的努力,能收集、记录数据,知道如何求平均数,了解统计图的特点,制作的统计图很出色,在这个方面是全班最好的。但你在使用语言解释统计结果方面有一定困难。继续努力,小明!评定等级:B。
学生阅读了这个以定性为主的评语,实际上也是与教师的一次情感交流,他获得了成功的体验,树立了学好数学的自信心,也知道了哪些方面应该继续努力。
教师要分析学生评价结果的变化,从而了解自己教学的成绩和问题,分析、反思教学过程中影响学生能力提高和素质发展的原因,寻求改善教学的对策。
7. 合理设计与实施书面测验
书面测验是考查学生课程目标达成状况的重要方式,合理地设计和实施书面测验有助于全面考查学生的数学学业成就,及时反馈教学成效,不断提高教学质量。
(1)对于学生基础知识和基本技能达成情况的评价,应准确把握内容标准中的要求。例如,对于一元二次方程根与系数关系的考查,内容标准中的要求是“了解”,不要求应用这个关系解决其他问题,设计测试题目时应符合这个要求。
对基础知识和基本技能的考查,要注重考查学生对其所蕴涵的数学本质的理解,考察学生能否在具体情境中合理应用。因此,在设计试题时不出偏题、怪题,淡化特殊的解题技巧。
(2)在设计试题时,应该关注并且体现《标准》的设计思路中提出的几个核心:数感、符号意识、运算能力、模型思想、空间观念、几何直观、推理能力、数据分析、随机现象。
(3)根据评价的目的合理地设计试题的类型,有效地发挥各种类型题目的功能。例如,为考查学生从具体情境中获取信息的能力,可以设计阅读分析的问题;为考查学生的探究能力,可以设计探索规律的问题;为考查学生解决问题的能力,可以设计具有实际背景的问题;为了考查学生的创造能力,可以设计开放性问题。
数学教材为学生的数学学习活动提供了学习主题、基本线索和知识结构,是实现数学课程目标、实施数学教学的重要资源。
数学教材的编写应以《标准》为依据。教材所选择的学习素材应尽量与学生的生活现实、数学现实、其他学科现实相联系,应有利于加深学生对所要学习内容的数学理解。教材内容的呈现要体现数学知识的整体性,体现重要的数学知识和方法的产生、发展和应用过程;应引导学生进行自主探索与合作交流,并关注对学生人文精神的培养;教材的编写还要利于调动教师的主动性和积极性,利于教师进行创造性教学。
内容标准是按照学段制订的,并未规定学习内容的呈现顺序。因此,教材可以在不违背数学知识体系的基础上,根据学生的数学学习认知规律、知识背景和活动经验,合理地安排学习内容,体现出自己的风格和特色,形成自己的编排体系。
1. 教材编写应体现科学性
科学性是对教材编写的基本要求。教材一方面要符合数学的学科特征,另一方面要符合学生的认知规律。
(1)全面体现《标准》提出的理念和目标。
教材的编写应以《标准》为依据,在准确理解的基础上,全面地体现和落实《标准》提出的基本理念和各项目标。
(2)体现课程内容的数学实质。
教材中学习素材的选择,图片、情境、案例与栏目等的设置,拓展内容的编写,以及其他课程资源的利用,都应当与所安排的数学内容有实质性联系,有利于提高学生对数学实质的理解,有利于提高学生对于所学内容的兴趣。
(3)准确把握内容标准要求。
《标准》对于义务教育阶段的数学教学内容有明确和具体的目标要求,教材的编写应遵循学生的认知规律,准确地把握“过程目标”或“结果目标”要求的程度。例如,在义务教育阶段,对“概率”概念的要求是“了解”事件发生的概率,“知道”通过大量的重复试验,可以用频率来估计概率,在编写相关内容时要把握好“了解”和“知道”所要求的程度。再如,关于距离的概念,在第二学段要求“知道”两点间的距离,在第三学段要求“理解”两点间距离的意义,“能”度量两点之间的距离,在编写相关内容时,一方面要把握好“知道”“理解”“能”之间程度的差异,另一方面要注意内容之间的衔接。
(4)教材的编写要有一定的实验依据。
教材的内容、案例的设计、习题的配置等,要经过课堂教学的实践检验,特别是新增的内容要经过较大范围的实验,根据实践的结果推敲可行性,并不断改进与完善。
2. 教材编写应体现整体性
作为科学的数学知识具有很强的整体性,而作为教育任务的数学内容在反映这一基本特征的基础上,还应当体现作为课程内容的整体性。
(1)整体体现课程内容的核心。
教材的整体设计要体现内容领域的核心。《标准》在设计思路中指出了“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”三个内容领域的核心:数感、符号意识、运算能力、模型思想;空间观念、几何直观、推理能力;数据分析、随机现象。它们是义务教育阶段数学课程内容的核心,也是教材的主线。因此,教材应当围绕这些核心内容进行整体设计和编排。
例如,在方程、不等式和函数的各部分内容编排中,应整体考虑模型思想的体现,突出体现建立模型、求解模型的过程。
再如,推理能力包括合情推理和演绎推理,无论是“数与代数”、“图形与几何”还是“统计与概率”的内容编排中,都要尽可能地为学生提供观察、操作、归纳、类比、猜测、证明的机会,发展学生的推理能力。
(2)整体考虑知识之间的关联。
教材的整体设计要呈现不同数学知识之间的关联。一些数学知识之间存在逻辑顺序,教材编写应有利于学生感悟这种顺序。一些知识之间存在着非常本质的内在联系,这种联系体现在相同的内容领域,也体现在不同的内容领域。例如在“数与代数”领域内,函数、方程、不等式之间均存在着实质性联系;此外,代数与几何、统计之间也存在着一定的实质性联系。
帮助学生理解类似的实质性联系,是数学教学的重要任务。为此,教材在内容的素材选取、问题设计和编排体系等方面应体现这些实质性联系,展示数学知识的整体性和数学方法的一般性。
(3)重要的数学概念与数学思想要体现螺旋上升的原则。
数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程,逐步理解和掌握的,如分数、函数、概率、数形结合、逻辑推理、模型思想等。因此,教材在呈现相应的数学内容与思想方法时,应根据学生的年龄特征与知识积累,在遵循科学性的前提下,采用逐级递进、螺旋上升的原则。螺旋上升是指在深度、广度等方面都要有实质性的变化,即体现出明显的阶段性要求。
例如,函数是“数与代数”的重要内容,也是义务教育阶段学生最难理解和掌握的数学概念之一,为此,《标准》在三个学段中均安排了与函数关联的内容目标,希望学生能够逐渐加深对函数的理解。因此,教材对函数内容的编排应体现螺旋上升的原则,分阶段逐渐深化。依据内容标准的要求,教材可以将函数内容的学习分为三个主要阶段:
第一阶段,通过一些具体实例,让学生感受数量的变化过程、以及变化过程中变量之间的对应关系,探索其中的变化规律及基本性质,尝试根据变量的对应关系作出预测,获得对函数的感性认识。
第二阶段,在感性认识的基础上,归纳概括出函数的定义,并研究具体的函数及其性质,了解研究函数的基本方法,借助函数的知识和方法解决问题等,使得学生能够在操作层面认识和理解函数。
第三阶段,了解函数与其他相关数学内容之间的联系(例如与方程、不等式之间的联系),使得学生能够一般性地了解函数的概念。
(4)整体性体现还应注意以下几点。
配置习题时应考虑其与相应内容之间的协调性。一方面,要保证配备必要的习题帮助学生巩固、理解所学知识内容;另一方面,又要避免配置的习题所涉及的知识超出相应的内容要求。
教材内容的呈现既要考虑不同年龄学生的特点,又要使整套教材的编写体例、风格协调一致。
数学文化作为教材的组成部分,应渗透在整套教材中。为此,教材可以适时地介绍有关背景知识,包括数学在自然与社会中的应用、数学发展史的有关材料,帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用,激发学习数学的兴趣,感受数学家治学的严谨,欣赏数学的优美。例如,在设计“数与代数”内容时可以介绍《九章算术》、珠算;在设计“图形与几何”内容时可以介绍《几何原本》、机器证明、黄金分割、CT技术;在设计“统计与概率”内容时可以介绍布丰投针,等等。
3. 教材内容的呈现应体现过程性
教材编写不是单纯的知识介绍,学生学习也不是单纯地模仿、练习和记忆。因此,教材应选用合适的学习素材,介绍知识的背景;设计必要的数学活动,让学生通过观察、实验、猜测、推理、交流、反思等,感悟知识的形成和应用。恰当地让学生经历这样的过程,对于他们理解数学知识与方法、形成良好的数学思维习惯和应用意识,提高解决问题的能力有着重要的作用。
(1)体现数学知识的形成过程。
在设计一些新知识的数学学习活动时,教材可以展现“知识背景—知识形成—揭示联系”的过程。这个过程要有利于激发学习兴趣,理解数学实质,发展思考能力,了解知识之间的关联。例如,分数、负数和无理数的引入都可以体现这样的过程。
(2)反映数学知识的应用过程。
教材应当根据课程内容,设计运用数学知识解决问题的活动。这样的活动应体现“问题情境─建立模型─求解验证”的过程,这个过程要有利于理解和掌握相关的知识技能,感悟数学思想,积累活动经验;要有利于提高发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力,增强应用意识和创新意识。
每一册教材至少应当设计一个适用于“综合与实践”学习活动的题材,这样的题材可以以“长作业”的形式出现,将课堂内的数学活动延伸到课堂外,经历收集数据、查阅资料、独立思考、合作交流、实践检验、推理论证等多种形式的活动。
(参见附录2中各学段“综合与实践”的例子)
4. 呈现内容的素材应贴近学生现实
素材的选用应当充分考虑学生的认知水平和活动经验。这些素材应当在反映数学本质的前提下尽可能地贴近学生的现实,以利于他们经历从现实情境中抽象出数学知识与方法的过程。学生的现实主要包含以下三个方面:
(1)生活现实。
在义务教育阶段的数学课程中,许多内容都可以在学生的生活实际中找到背景。
第一学段,学生所感知的生活面较窄,从他们身边熟悉的、有趣的事物中选取学习素材,容易激发他们学习数学的兴趣,使他们感受到数学就在自己的身边,也易于他们理解相关的数学知识,体会到数学的作用。
第二学段、第三学段,学生的活动空间有了较大的扩展,他们感兴趣的问题已拓广到客观世界的许多方面,他们逐渐关注来源于自然、社会中更为广泛的现象和问题,对具有一定挑战性的内容表现出更大的兴趣。因此,教材所选择的素材应尽量来源于自然、社会中的现象和问题。如与现实生活有关的图片、图形(照片、简单的模型图、平面图、地图等),以使学生感受到数学的价值和趣味.
(2)数学现实。
随着数学学习的深入,学生所积累的数学知识和方法就成为学生的“数学现实”,这些现实应当成为学生进一步学习数学的素材。选用这些素材,不仅有利于学生理解所学知识的内涵,还能够更好地揭示相关数学知识之间的内在关联,有利于学生从整体上理解数学,构建数学认知结构。例如,因式分解知识的引入可以借助整数的分解,平行四边形概念的引入可以借助三角形,等等。
(3)其他学科现实。
数学的许多内容与其他学科知识有着密切的联系,随着学生学习的深入,其他学科的知识也就成为学生的“现实”,教材在选择数学学习素材时应当予以关注。
5. 教学内容设计要有一定的弹性
按照《标准》要求,教材的编写要面向全体学生,也要考虑到学生发展的差异,在保证基本要求的前提下,体现一定的弹性,以满足学生的不同需求,使不同的人在数学上得到不同的发展,也便于教师发挥自己的教学创造性。例如:
(1)就同一问题情境提出不同层次的问题或开放性问题;
(2)提供一定的阅读材料,包括史料、背景材料、知识应用等,供学生选择阅读;
(3)习题的选择和编排突出层次性,设置巩固性问题、拓展性问题、探索性问题等;
(4)在设计综合与实践活动时,所选择的课题要使所有的学生都能参与,不同的学生可以通过解决问题的活动,获得不同的体验;
(5)编入一些拓宽知识或者方法的选学内容,增加的内容应注重于介绍重要的数学概念、数学思想方法,而不应该片面追求内容的深度、问题的难度、解题的技巧;
(6)设计一些课题和阅读材料,引导学生借助算盘、函数计算器、计算机等工具,进行探索性学习活动。
6. 教材编写要体现可读性
教材应具备可读性,应易于学生接受,激发学生学习兴趣,为学生提供思考的空间。教材可读与否,对不同学段的学生具有不同的标准。因此,教材的呈现应当在准确表达数学含义的前提下,符合学生的年龄特征,从而有助于他们理解数学。
对于第一学段的学生,可以采用图片、游戏、卡通、表格、文字等多种方式,直观形象、图文并茂、生动有趣地呈现素材,提高他们的学习兴趣。
对于第二学段的学生,由于他们具备了一定的文字理解和表达能力,所以教材的呈现应在运用学生感兴趣的图片、表格、文字等形式的同时,逐渐增加数学语言的比重。
对于第三学段的学生,随着数学学习、语言学习的深入,他们使用文字和数学符号的能力已经有了一定程度的发展。教材的呈现可以将实物照片、图形、图表、文字、数学符号等多种形式结合起来。
《标准》使用“了解、理解、掌握、运用”等术语表述学习活动结果目标的不同水平,使用“经历、体验、探索”等术语表述学习活动过程目标的不同程度。这些词的基本含义如下。
了解:从具体事例中知道或举例说明对象的有关特征;根据对象的特征,从具体情境中辨认或者举例说明对象。
理解:描述对象的特征和由来,阐述此对象与相关对象之间的区别和联系。
掌握:在理解的基础上,把对象用于新的情境。
运用:综合使用已掌握的对象,选择或创造适当的方法解决问题。
经历:在特定的数学活动中,获得一些感性认识。
体验:参与特定的数学活动,主动认识或验证对象的特征,获得经验。
探索:独立或与他人合作参与特定的数学活动,理解或提出问题,寻求解决问题的思路,发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系,获得理性认识。
说明:在标准中,使用了一些词,表述与上述术语同等水平的要求程度。这些词与上述术语之间的关系如下:
(1)了解
同类词:认识,知道,说出,辨认,识别。
实例:认识三角形;知道三角形的内心和外心;识别同位角、内错角、同旁内角。(2)理解
同类词:会。
实例:会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图。
(3)掌握
同类词:能。
实例:能认、读、写万以内的数,能用数表示物体的个数或事物的顺序和位置。(4)运用
同类词:证明。
实例:证明“角角边”定理:两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等。(5)经历
同类词:感受。
实例:在具体情境中感受大数的意义。
(6)体验
同类词:体会。
实例:结合具体情境,体会整数四则运算的意义。
内容标准
第一学段(1—3年级)
数与代数
例1  将数50,98,38,10,51排序,用“>”或“<”表示。用大得多、大一些、小一些、小得多等语言进一步描述它们之间的关系。
[说明]  符号“>”或“<”表述的是数量间的大小关系,希望学生能够理解符号的含义并能合理使用,这个过程可以帮助学生建立数感。
让学生将这些数排序,学生可能会有不同的排序方法。例如,先找到最小(大)的,然后在剩余的数中再找到最小(大)的,依次将五个数按从小(大)到大(小)的顺序进行排序;或者先固定一个数(如50),拿第二个数(98)与之比较,然后取第三个数与前两个数比较,根据它们之间的大小关系决定位置,这样继续下去,最后将五个数排序。无论学生的出发点如何,只要思路清晰、排序正确即可。
用语言描述几个数之间的大小关系时,结论是相对的。例如,可以说51比50大一些,98比10大很多;而50比38是大一些,还是大得多,可能会有不同看法,但不应当出现逻辑上的混乱,例如,“50比10大一些,50比38大得多”。
例2  1200张纸大约有多厚?你的1200步大约有多长?1200名学生站成做广播操的队形需要多大的场地?
[说明] 通过对1200在不同情境中的意义的了解,感受数与生活实际的关系。上述三个问题是类似的,可以让学生学会举一反三。
针对问题“1200张纸大约有多厚”,教学中可以作如下设计:
(1)一本数学教科书大约由50张纸装订而成。可以请学生先观察自己的教科书,感受一本书的厚度。
(2)将10本教科书依次叠在一起,每增加一本都请学生感受一次纸张的数量,感受数量由小增大的过程,建立大数的表象。
(3)想一想,1200张纸大约有多厚?(10本书是500张纸,学生可以想象20本书是1000张纸,比20本书还要厚)。请学生描述“这1200张纸叠在一起有多高”,鼓励学生从不同的角度进行描述。
例3  说出与日常生活密切相关的数及其表达的事情。
[说明] 对小学生来讲,日常生活中用数来表示的例子很多,如学号、班级人数、身高、物价、重量、距离等。教学中要引导学生自己去发现,相互交流,从而体会数的意义和作用。
例4  教室里有6行座位,每行7个,教室里一共有多少个座位?
[说明] 通过这个例子,引导学生理解教室中的座位数可用6个7表示,可以写成:6×7或7×6。
例5  学校组织95名学生去公园游玩。如果公园的门票每张8元,带800元钱够不够?如果门票每张9元呢?
[说明] 本例的目的是希望学生了解在什么样的情境中需要估算,知道“凑整计算”是估算的一个重要方法。
学生估计的结果可能比实际的结果多一些或者少一些,这取决于学生将题中给出的数据加上几后凑整还是减去几后凑整。教师要引导学生根据实际问题选择合适的估算方法。如果门票的价格是8元,需要将95估计成100,由此得到95与8相乘的结果肯定比800小,所以带800元够了;如果门票的价格是9元,需要将95估计成90,由此得到95与9相乘的结果肯定比810大,所以带800元不够。
学生还可能根据自己生活中的经验,将乘车或者其他消费等都考虑在内,只要学生解释合理,教师都应给予支持。
例6  估计每分钟脉搏跳动的次数、阅读的字数、跳绳的次数、走路的步数。
[说明] 本例既可以帮助学生体验1分钟的长短,又是一个估计问题,需要实际测量,在测量的基础上进行简单计算。
可以有三类方法进行实际测量:测量半分钟,然后数据乘2;测量1分钟;测量2分钟,然后数据除以2。可以引导学生感悟,前一种方法省事,但可能不够准确;后一种方法费事,但可能更准确一些。帮助学生建立选择策略的思想。
例7  在下列横线上填上合适的数字、字母或图形,并说明理由。
1,  1,  2; 1,  1,  2;      ,     ,     ;
A,  A,  B; A,  A,  B;      ,     ,     ;
,   ,  ;   ,   ,  ;      ,     ­­,     ;
[说明] 启发学生探索规律。希望学生感悟:对于有规律性的事物,无论是用数字还是字母或图形都可以反映相同的规律,只是表达形式不同。
例8  在下面的图1中,描出两个数相加等于10 的格子。
9
8
7
6
5
4
3
2
1
+
1
2
3
4
5
6
7
8
9
图1
[说明] 本例不仅能帮助学生熟练地进行20以内的加法,并且数值与图形结合,有利于学生以后学习坐标系、图像等。
根据学生的实际,借助上面的图1可以提出不同的问题。例如,进一步把两个数相加的和是8的格子描出来,看一看有什么规律。根据上图判断,出现次数最多的和是几?最少的是几?
图形与几何
例9  桌上放着一个茶壶,四位同学从各自的方向进行观察。
图2
请指出下面四幅图分别是哪位同学看到的。
图3
例10  一米约相当于    根铅笔长;北京到南京的铁路长约1000     。
[说明] 通过这类问题,让学生了解实际情境中度量单位的意义,学会选择合适的度量单位,发展学生的数感。
例11  测量、计算不规则图形的周长。
[说明] 在学生掌握了一些规则图形(正方形、长方形)周长的测量、计算方法的基础上,进一步尝试测量、计算不规则图形的周长,有利于学生把握图形的性质和理解周长的意义,学习解决实际问题的方法。教师可以作如下设计:
(1)可以从简单到复杂。先测量并计算一些由规则图形组合成的图形的周长。
(2)对于圆形或杨树叶形的图,可以运用各种测量工具, 也可以用各种测量方法, 鼓励学生进行尝试。对于树叶的直接测量,可以用下面两种方法:
①滚动。可以在尺子上滚动“树叶”形状的图形,也可以保持“树叶”形状的图形不动,将尺子滚动进行测量。
②绕线。先用细线在图形的边缘围一周,再将细线拉直,然后测量细线的长度。
(3)测量会有误差。一方面要求学生测量时应当认真,尽量减小误差;另一方面启发学生思考,是不是可以多测量几次,然后确定一个合适的结果。
例12  测量并计算一张正方形纸的面积,利用结果估计课桌面的面积;测量步长,利用步长估计教室的面积。
[说明] 把测量与面积计算有机地结合,让学生体会面积的实际背景,直观感觉面积与边长的关系。
例13  在下列现象中,哪些是平移现象?哪些是旋转现象?
(1)方向盘的转动;    (2)火车的运动;
(3)电梯的上下移动;  (4)钟摆的运动。
例14  下面哪些图形通过平移可以互相重合?
图4
例15  下面是一张动物园的地图,根据地图所标的位置回答下列问题:
● 海洋馆
● 熊猫馆
● 狮虎山
● 大象馆
● 百鸟园
● 猴山


图5
(1)熊猫馆在猴山的哪个方向上?大象馆在海洋馆的哪个方向上?
(2)百鸟园在狮虎山的哪个方向上?狮虎山在大象馆的哪个方向上?
[说明] 可以先从一个固定的观测点出发,描述其他物体的方位,再改变观测点,描述物体的相对方位。
统计与概率
例16  选择合适的标准把全班同学分为两类,记录调查结果。
[说明] 比较、排列、分类等活动是对数据进行的初步整理,是学生进行数据分析的开始,也为以后学习统计与概率和其他方面的数学积累感性经验。教学中应鼓励学生依据分类标准得出结论,具体可作如下设计:
(1)教师给出问题后,引导学生讨论不同的分类标准。例如,性别,身高,家到学校的距离,出生年月,左右手写字等等。
(2)当提出的标准较多时,可以根据学生喜好的标准分组进行活动,完成调查。
(3)运用自己的方式(文字、图画、表格等)呈现调查结果。
例17  新年联欢会准备买水果,调查班级同学最喜欢吃的水果,设计购买方案。
[说明] 借助学生身边的例子,体会数据调查、数据分析对于决策的作用。类似这样的例子还有很多。教学中可作做如下设计:
(1)全班同学讨论决定购买方案的原则,可以在限定的金额内考虑学生同意最多的几种水果,或者其他的原则。
(2)鼓励学生讨论收集数据的方法。例如,可以采用一个同学提案、赞同举手的方法;可以采取填写调查表的方法;可以全部提案后,同学轮流在自己同意的盒里放积木的方法等等。必须事先约定,每位同学最多可以同意几项。
(3)收集并表示数据,参照事先的约定决定购买水果的方案。
要根据学生讨论的实际情况进行灵活处理,购买方案没有对错之分,但要符合最初制定的原则。
例18  对全班同学的身高进行调查分析。
[说明] 学校一般每年都要测量学生的身高,这为学习统计提供了很好的数据资源,因此这个问题可以贯穿整个小学学习阶段,根据不同学段的学生特点,要求可以有所不同。希望学生把每年测量身高的数据都保留下来,养成保存资料的习惯。在第一学段,主要让学生感悟可以从数据中得到一些信息。教学中可以作如下设计:
(1)指导学生将全班同学的身高进行汇总。
(2)从汇总后的数据中发现信息。比如最高(最大值)、最矮(最小值)、相差多少(极差),大部分同学的身高是多少(众数),自己的身高位于全班身高的哪个位置(顺序)等。在讨论过程中,括号中的有些名词并不需要出现,但是希望学生体会数据所代表的意义。
(3)在整理中,可以让学生尝试创造灵活的方法。例如寻找最高,可以直接比较寻找,当学生人数比较多时,也可以分组寻找组内最高,然后在每组的最高中寻找最高;在考虑顺序问题时,可以参见“数与代数”的例1。
综合与实践
例19  图形分类。
图6
如图所示,桌上散落着一些扣子,希望同学们把扣子分类。请同学们想一想:应当如何确定分类的标准?根据分类的标准可以把这些扣子分成几类?然后具体操作,并用文字、图画或表格等方式把结果记录下来。
[说明] 本活动适合于本学段的各个年级,可以在要求上有所区分。本活动的目的是希望学生能够清楚,分类是要依赖分类标准的,例如扣子的形状、扣子的颜色或者扣眼的数量都可以作为分类的标准,而在不同的分类标准下分类的结果可能是不同的。本活动将有利于培养学生把握图形的特征、抽象出多个图形的共性的能力。另一方面,活动还要求学生运用文字、图画或表格等方法记录对扣子进行分类后的结果,这有利于培养学生整理数据的能力。
教师在此活动的教学中可以作如下设计:
(1)教师提出问题,引导学生讨论分类标准。可以启发学生这样思考:先关注一个指标的分类标准:如先关注颜色;在此基础上,再进一步关注两个指标的分类标准,如进一步关注颜色和形状;最后再关注颜色、形状和扣眼数。这样可以避免出现混乱。
(2)根据已经讨论确定的分类标准对学生分组,引导学生实际操作,合作完成计数;各小组呈现统计结果。
(3)教师组织学生报告统计结果,引导学生作出评价,帮助学生整理思路。
例20  平移或旋转。
在两张方纸上分别写上大写英语字母A或B,然后把两张方纸交换位置或者旋转。两张方纸分别进行了平移还是旋转?各用了几步?
[说明] 本活动适用于三年级。在学生通过生活背景了解平移和旋转的基础上,通过这个学习活动,有利于学生进一步了解平移和旋转。特别是记录步骤有利于学生体会简单操作和复合操作。
教学中可以从简单到复杂。先进行单纯的平移或者旋转,然后进行复合,逐渐增加步骤。
例21  上学时间。
让学生记录自己在一个星期内每天上学所需要的时间,并从这些数据中发现有用的信息。
[说明] 这个活动适用于二、三年级,有利于培养学生的数据分析意识:知道在现实生活中,有许多问题可以先调查数据,通过对于数据的分析得到结论;如果把记录时间精确到分,可能学生每天上学的时间是不一样的,可以让学生感悟数据的随机性;更进一步,让学生感悟虽然数据是随机的,但数据较多时具有某种稳定性,可以从中得到很多信息。
教学中可以作如下设计:
(1)指导学生如何测量时间和作记录,启发学生先设计调查方案。例如,事先调整家里钟表的时间,使它和学校钟表的时间保持一致;在调查期间需要保证每天上学途中的行为尽量一致;考虑作为参照,是否也记录放学回家的时间;等等。在此过程中,培养学生认真做事的习惯。
(2)组织学生展现数据,鼓励学生从中发现信息。学生得到的信息可以是多方面的:虽然每天上学的时间可能是不一样的,但通过一个星期的调查可以知道“大概”需要多少时间;可以知道上学所需要的最长时间和最短时间。
(3)组织学生进行交流,比较自己与他人的调查结果,从而获得更多信息:大多数同学上学所需要的时间,同学中最长的和最短的上学时间;可以将时间分段,统计每个时间段的学生人数,得到表格或者统计图。在此过程中,鼓励学生体会分析调查结果及得到结论的乐趣。
第二学段(4—6年级)
数与代数
例22  如果一个人的寿命是76岁,这个人一生的心跳大约有多少次?光速大约每秒30万千米,光从太阳到达地球大约需要多长时间?如果把100万张纸叠加起来,会有珠穆朗玛峰那么高吗?
[说明] 参见第一学段的“数与代数”的例2。在计算的过程中,要合理利用数的单位和度量单位来减少位数。有些问题需要学生自己查找资料,如太阳到地球的距离、珠穆朗玛峰的海拔高度,有利于学生养成调查研究的习惯。
例23  某学校为学生编号,设定末尾用1表示男生,用2表示女生,例如20043321表示“2004年入学的三班的32号同学,该同学是男生”。那么,20054302表示什么?
[说明] 这个例子可以启发学生思考,编号提供给我们一些什么信息,比如一个年级最多有多少个班,一个班最多有多少名学生。可以引导学生设计本学校的学生编号。还可以启发学生通过观察汽车的牌照号估计本地的车辆数。
例24  说明 ,0.25和25%的含义。
[说明] 分数、小数和百分数都是有理数的常用表示方法,但含义是有所不同的。真分数通常表示部分与整体的关系,如全班同学的 ;小数通常表示具体的数量,如一只铅笔0.25元;百分数是统一标准后的比,如年增长25%。希望学生能够理解含义,在生活中能够合理使用。
例25  李阿姨在商店挑选了两袋米、一块牛肉、一些蔬菜和鱼,售货员告诉她:每袋米35.4元,一块牛肉14.8元,蔬菜和鱼分别为6.7元和12.8元。李阿姨带了100元,够吗?
例26  9.9×7.1大约是多少? + 比1大吗?
例27  利用计算器计算15×15,25×25,…,95×95,并探索计算规律。
[说明] 目的是运用计算器探索计算过程,增加计算器练习的趣味性。学生可以通过观察结果与乘数的关系,发现运算规律。例如
15×15=225=1×2×100+25,
25×25=625=2×3×100+25,
35×35=1225=3×4×100+25,
等等。这个规律在实际运算中也是有用的。
例28  彩带每米售价4元,购买2米,3米,…,10米彩带分别需要多少钱?在方格纸把数对(长度,价钱)的对应点描出,并且回答下列问题:
(1)所描的点是否在一条直线上?
(2)估计一下,买1.5米的彩带大约要花多少元?
(3)小刚买的彩带长度是小红的3倍,他所花的钱是小红的几倍?
[说明]希望学生感受成正比例关系的数据与直线图形之间的关系,并且能够借助图形进行数据的估计。
教学中引导学生在描点之前,先建立下面的表格,有利于直观地理解正比例关系,并为描点作准备。
长度/米
0
1
2
3
4
5
6
7

价钱/元
0
4
8
12
16
20
24
28

例29  联欢会上,小明按照3个红气球、2个黄气球、1个绿气球的顺序把气球串起来装饰教室。你知道第16个气球是什么颜色吗?
[说明] 希望学生能够通过所给条件,发现规律,进一步了解规律可以借助各种符号表示(参见第一学段“数与代数”的例7)。
在解决这个问题时,学生可以有多种方法。例如,用A表示红气球,B表示黄气球,C表示绿气球,则按照题意可以写成
AAABBCAAABBC…
从中找出第16个字母,并推出第16个气球的颜色。
例30  在一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共16个,如果椅子腿和凳子腿数加起来共有60个,有几个椅子和几个凳子?
[说明] 可以引导学生运用尝试的办法探索规律,得出结果,使学生感受这是数学探索的一种有效途径。比如,可以有规律地给出下面的计算:
椅子数  凳子数       腿的总数
16       0          4×16=64
15       1          4×15+3×1=63
14       2          4×14+3×2=62
继续计算下去,可以得到椅子数12、凳子数4时,腿数恰好为60。通过上表可以启发学生思考:每减少一个椅子就要增加一个凳子,腿的总数就要减少4-3=1。如果这个思考是正确的,腿的总数为60时,需要减少的椅子数是64-60=4,于是椅子数是16-4=12,凳子数是0+4=4。最后验证一下:12×4+3×4=60,是正确的。当然,也可以从凳子数的变化思考:每减少一个凳子就要增加一个椅子,腿的总数就要增加4-3=1。
进一步用字母代替椅子数与凳子数,则通过上表可以得出:
椅子数   凳子数       腿的总数
=16     16- =0    4× +3×(16- )=64
=15     16- =1    4× +3×(16- )=63
=14     16- =2    4× +3×(16- )=62
这样,符合题意的方程为4× +3×(16- a)=60,可以通过尝试的方法,解得a =12。通过具体计算引导学生理解方程的意义是重要的,有助于学生建立模型的概念。
此题对不同学生可以提出不同的要求。多数学生在教师的引导下,能列方程即可。
图形与几何
例31  下面是一组立方块:
图7
请指出从前面、右面、上面看到的相应的图形:
(   )          (  )        (   )
例32  下图8中每个小方格为1个平方单位,试估计曲线所围部分的面积。
图8
[说明] 要事先根据希望达到的估计精度制定准则。例如,可以确定只要有图形就记为1;也可以确定图形小于一半的记为 ,大于一半的记为1;也可以确定图形小于一半的记为0,大于一半的记为1;也可以分得更细。让学生通过记录、计算、比较等,体会估计的意义和方法。
例33  测量一个土豆的体积。
[说明] 对于不规则物体的体积,可以转化为等体积的规则物体来测量。例如,准备一个有刻度的容器,先注入一些水,然后把土豆放入水中,观察水的体积的变化。类似,可以利用学生们熟悉的曹冲称象的故事让学生体会对于不规则的物体的体积的测量方法。
例34  图画还原。
打乱由四块积木或者图画构成的平面画面,请学生还原并利用平移和旋转记录还原步骤,尝试寻找步骤最少的还原方案。
图9
[说明] 问题中的积木块相当于方格纸的作用,通过实际操作进一步理解平移和旋转,不仅能增加问题的趣味性,还可以让学生感悟几何运动也是可以记录的,体验选取最佳方案的过程。
教学中可以作如下设计:
(1)还原的步骤一定要从简单到复杂,如先打乱四块积木中的上面两块,让学生尝试思考的过程。
(2)可以分小组进行。为了记录准确,事先要确定代表符号。
(3)小组活动时,可以先讨论,确定一个大概的还原路线,然后操作验证。
(4)小组呈现并操作结果,进行讨论,比较。
例35  画出从学校到家的路线示意图,并注明方向及途中的主要参照物。
例36  小青坐在教室的第3行第4列,用数对表示,并在方格纸描出来。在同样的规则下,小明坐在教室的第1行第3列应当怎样表示?
[说明] 需要先在方格纸标明正整数刻度,希望学生能够把握数对与方格纸上点(行列或者列行)的对应关系,并且知道可以对不同的数对进行比较。这个过程有利于学生未来直观理解直角坐标系。
统计与概率
例37  对全班同学的身高进行整理和分析。
[说明] 在第一学段的例18中,已经引导学生对全班同学的身高进行初步分析。在这个学段中,要求学生结合以前积累的身高数据(参见第一学段例18的说明),进行进一步的整理,然后进行分析。整理的目的是为了便于分析,例如,条形统计图有利于直观了解不同高度段的学生数及其间的差异;扇形统计图有利于直观了解不同高度段的学生占全班学生的比例及其间的差异;折线统计图有利于直观了解几年来学生身高变化的情况,预测未来身高变化趋势。
教学中可以作如下设计:
(1)组织学生讨论并明确基本标准。例如,条形统计图和折线统计图的高度段,其间隔需要事先确定。如果学生意见不一致时,可以根据意见的不同把学生分组,各自画出统计图后进行比较。
(2)可以把几年来全班同学的平均身高画出折线统计图,让学生与自己的身高折线图进行分析比较。还可以对男女生的身高进行分析和比较。
(3)虽然数据整理和分析的方法可以有所不同,但要求分析的结论清晰,能够更好地反映实际背景。
例38  阅读在报纸或者杂志上发表的有统计图的文章,用自己的语言说明统计图所表达的意思。
[说明] 在实际背景中体会统计图的作用,可以增强趣味性,加深对统计图、以及统计图所阐述的问题的理解。还可以培养学生调查研究的习惯。
教学时,教师可以事先布置作业,也可以确定题目分小组查阅资料,集体讨论后在课堂分小组阐述。在此基础上,可以调查周边的事情(如喜欢读的书籍,喜欢听的歌曲等等),得到数据并作出统计图进行分析。
例39  将下面这些卡片混在一起,从中任意选取一张卡片,这张卡片可能是什么?
图10
[说明] 希望学生理解,因为是任意选取一张卡片,则每张卡片都可能被选取,但事先无法确定哪张卡片一定会被选取(是随机的),每张卡片被选取的可能性是一样大的(简单事件)。
如果学生能够很好地理解,则可以进一步提问:这张卡片是船的可能性大呢?还是房子或者车的可能性大呢?可以让学生进行实际操作。
综合与实践
例40  绘制学校平面图。
按照确定的比例和方位,绘制校园的平面图,包括围墙、主要建筑、主要活动场所、道路等等。
[说明] 本活动适用于五、六年级,目的是通过实际操作,让学生更好地理解位置、方向和比例等基础知识,掌握测量的方法。因为整个操作比较复杂,建议采用小组活动的形式,既有利于培养学生统筹规划的实践能力,也有利于学生体验团结协作、获得成功的快乐。
教学中可以作如下设计:
(1)选择测量工具。最简单的测量工具是指南针和皮尺(也可用步长近似测量)。
(2)分组。在教师的指导下,各小组讨论并形成基本测量方案,组内分工。各小组完成实际测量后,绘制校园平面图。
(3)交流。各小组展示本组绘制的校园平面图,交流绘制的方法和过程(可以用壁报、幻灯等形式)。
例41  旅游计划。
某人计划用5天的时间去某地旅游,所需费用大概是多少?
[说明] 适用于本学段的各个年级,要求可以不同。关于目的地和时间,教师可以根据实际情况提出。这个问题需要学生自己调查研究,认真制定计划,根据计划计算费用。因此,这是一个灵活的开放题。为了便于调整计划,可以先考虑几种方案,然后比较筛选,也可以分小组活动,分工调查、集体讨论后制定一个统一的计划。
在学生报告结果时,教师应要求学生能对自己和别人的方案进行评价。
例42  面积分割。
用一条直线把一个正方形分为两部分。如果要使这两部分的面积相等,这条直线应当满足什么条件?
[说明] 本活动适用于六年级。希望引发学生深入思考,发现结论,经历从直观分析到推理的过程,有利于培养学生进行数学探索的兴趣。教师要鼓励学生,能够说出对角线和中线的就应当是正确,进一步引导学生在这四条线中找出共性,即直线应当过正方形的中心点。教师还可以引导学生通过面积的等量关系进行验证。
图11
对于学有余力的学生,教师可以鼓励他们思考“过中心的任何一条线段是否都可以把正方形分成面积相等的两部分”。
例43  利用特征分类。
收集不同种类树的叶子,测量叶子的长和宽,计算叶子的长宽比,并按照比值对树进行分类。
[说明] 我们可以抓住树的某些特征对树进行分类,本例是利用树叶来对树进行分类。
本活动适用本学年段的各个年级,要求可以不同。学生先通过数据收集和分析知道一些树的树叶的长与宽的比;对于新采集到的树叶,通过长与宽的比来判断这个树叶是属于那种树。这一学习活动有利于培养学生的数据分析意识,体会有许多事情,通过数据分析可以抓住本质。知道数据不仅仅是别人提供的,还可以自己收集;对于同一种树,叶子长与宽的比也可能是不一样的,进一步感受数据的随机性;体会只要有足够的数据,就能够分析出一些规律性的结论。
教学中可以作如下设计:
(1)建议采用小组活动的形式,学生通过合作交流可以获得较多的数据和信息。
(2)分析方法可以由简单到复杂。开始可以用平均数来分类,比如,对于同种树,测量、计算了10个树叶,取10个比值的平均数。但是学生很快就会发现,即使是同一棵树,叶子长与宽的比值恰好等于平均数的可能性也很小。可以启发学生考虑比值大概等于平均数,就可以认为是同一种树,即比值可以比平均数大一点或者小一点,从而得到一个数值区间。
这个问题可以举一反三。例如,一年四季的温度,以每天最高或者最低温度为标准,冬夏有很大差异;商店一天的销售情况,以一个小时的销售额为标准,中午与晚上有较大差异。
(3)组织学生交流结果,发挥学生的想象力。
第三学段(7-9年级)
数与代数
例44  灾害预案。
一次水灾中,大约有20万人的生活受到影响。如果灾情持续一个月,大约需要筹集多少顶帐篷?多少吨粮食?
[说明] 解决此问题需要在一定的假设条件下,进行有理数的运算,最后给出估计。
例如,假定一顶帐篷可以住10个人,需要2万顶;假如要保证一个家庭住一顶帐篷,每个家庭4口人,需要5万顶。假定平均每人每天需要0.4千克粮食,可以估计出每天需要的粮食数,10天需要的,一个月需要的。
例45  估计 与0.5哪个大?与1.0比呢?
例46  结合实例解释3a。
[说明] 希望学生理解用字母表示的代数式是有一般意义的。a可以表示数量,例如葡萄的价格是每千克3元,则3a 表示买a千克的金额;a可以表示长度,例如一个等边三角形边长为a,则3a表示这个三角形的周长,等等。
例47  一条河流的水流速度为每小时2.5千米,描述河流中行船实际行走的速度。
[说明] 解决这个问题需要借助符号表述结果,可以使学生理解运用符号的表示具有一般性,有利于学生进一步学习方程,形成模型思想。因为解决问题时需要分顺水行船和逆水行船两种情况,所以可以培养学生在解决实际问题中,尽量把问题考虑全面。
有两种方法供参考:先从具体数据出发寻找规律,然后给出一般表述;先给出一般表述,然后用具体数据验证。无论用哪种方法,都要注意下面两点:从语言表达过渡到符号表达;用具体数据计算来验证表达结果。
例48  利用公式证明第二学段“数与代数”案例中例27所显示的运算规律。
[说明]在第二学段的学习中已经发现了如下的运算规律:
15×15=1×2×100+25=225,
25×25=2×3×100+25=625,
35×35=3×4×100+25=1225。
观察后,我们猜测:如果用字母a代表一个正整数,则有如下规律:
(a×10+5)2=a(a+1)×100+25。
但这样的猜测是正确的吗?需要给出证明:

这是一个由具体数值计算到符号公式表达的过程,即由特殊到一般的过程。可以让学生感悟,有些问题是可以通过一般性的证明来验证自己所发现的规律,感悟数学的严谨性,增加学习数学的兴趣。
例49 在一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共16个,如果椅子腿和凳子腿数加起来共有60个,有几个椅子和几个凳子?
[说明]这个问题与第二学段“数与代数”案例中的例30是相同的。事实上,这个问题可以用三种方法建立模型。在第二学段讨论过的方法是基于四则运算,还可以用一元一次方程的方法或二元一次方程组的方法解决。启发学生从不同的角度思考同一个问题,有利于学生进行比较,加深对于模型的理解。
利用一元一次方程解决此问题时,可以引导学生通过具体列表的方式找出规律、建立方程,这样利于学生理解方程的意义,体会建模的过程。假设椅子数为a,则凳子数为16-a,把例30中的表移过来并用字母代替:
椅子数   凳子数       腿的总数
a =16    16-a =0      4a +3(16-a)=64
a =15    16-a =1      4a +3(16-a)=63
a =14    16-a =2      4a +3(16-a)=62
这样,合题意的方程为4a+3(16-a)=60,可以通过尝试的方法,解得a=12,也可以解方程求解。
对于二元一次方程组,则可以直接列方程。假设椅子数为a,凳子数为b,可以得到两个方程a+b=16和4a+3b=60,用代入法得到4a+3(16-a)=60,求解得到a=12和b=4。
从上面的讨论可以看到,用四则运算方法,思考最困难,但是结果最直接;用二元一次方程组的方法,思考最简洁,但是计算较繁琐。
在教学过程中,可以结合具体的教学内容使用这个例子,最后进行比较,启发学生思考。
例50 估计方程 的解。
[说明] 估计方程的解,不仅仅在于求解,也有利于学生直观地探究方程的性质,初步感悟,求数值解也是求方程解的有效途径。一般来说,如果把一个数代入方程左边得到的值为负,把另一个数代入得到的值为正,则在这两个数之间可能有方程的解。根据这个原理,用二分法可以估计方程的解。
分析这个一元二次方程,当x的绝对值较大时,方程的左边必然为正,如-5和3;当x的绝对值较小时,方程的左边必然为负,如2。那么,在-5和2之间,以及在2和3之间方程可能有解。进一步,用同样的道理可以将解的范围缩小,使我们估计的解尽可能精确,如选-5和2的中间值-1.5代入方程的左边进行计算,如果得到的值为正,则在-1.5和2之间有解,否则在-5和-1.5之间有解。可以借助计算器来完成上述的计算过程。
例51 求方程 的解。
[说明] 把求出的解与例50进行比较。
例52 小丽去文具店买铅笔和橡皮。铅笔每支0.5元,橡皮每块0.4元。小丽带了2元钱,能买几支铅笔、几块橡皮?
[说明] 对于初中的学生,这个问题是生活常识,但希望学生能通过这个例子学会用数学的思维方式看待生活中的问题。
这是一个求整数解的不等式问题,并且问题是开放的,通过列表具体计算,有助于学生直观理解不等式。
假设买a支铅笔,b块橡皮,可以得到不等式
0.5a + 0.4b ≦ 2。
当a = 1时,计算得到b ≦ = 3.75,则 b = 3。这样计算,可以建立下面的表格:
a
0
1
2
3
4
b
5
3
2
1
0
金额
2
1.7
1.8
1.9
0
根据上面的表格,小丽可以选择适当的购买方案。
例53 小明的父母出去散步,从家走了20分到一个离家900米的报亭,母亲随即按原速返回。父亲在报亭看了10分报纸后,用15分返回家。下面的图形中哪一个表示父亲离家后的时间与距离之间的关系?哪一个图形是表示母亲的?
图12
例54  某书定价8元。如果一次购买10本以上,超过10本部分打8折。分析并表示购书数量与付款金额之间的函数关系。
[说明] 这是一个分段函数,函数的三种表示法均适用于这个例子。一般来说,列表法适用于变量取值是离散的情况;分段函数应当画图,并且关注分段点处函数的变化情况。
可以分组讨论三种方法,然后让学生分析比较。
例55  甲乙两地相距20千米。小明上午8点30分骑自行车由甲地去乙地,车速平均每小时8千米;小丽上午10点坐公共汽车也由甲地去乙地,车速平均每小时40千米。分别表示两个人时间与距离的函数关系,并回答谁先到达乙地。
[说明] 问题的要点是同时分析两个函数关系。可以启发学生用各种方法来解答第二个问题,在分析、总结学生的解答时,可以把两个函数的图象放在一起进行直观比较。
例56 温度的计量。
世界上大部分国家都使用摄氏(C),但美、英等国的天气预报仍然使用华氏(F)。两种计量之间有如下对应
C
0
10
20
30
40
50
F
32
50
68
86
104
122
(1)在平面直角坐标系中描述相应的点,观察这些点是否在一条直线上。
(2)如果两种计量之间的关系是一次函数,请给出该一次函数表达式。
(3)0℉相当于多少摄氏度。
(4)华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相同的可能吗?
[说明] 在表中,两个变量对应数值的差之比是一个常数,所以两个变量之间是一次函数关系。摄氏从0度开始,设为横坐标方便。但在求华氏0度对应的摄氏温度时,需要通过函数值来反求自变量的值。在平面直角坐标系中, 该一次函数的图像与直线 y = x的交点处的值就是华氏温度的值与摄氏温度的值相等时的值。
图形与几何
例57  从一个侧面为正方形的长方体实物中抽象出长方体、长方形、正方形、线段和顶点。
[说明] 学生在日常生活中见到的物体都是立体的,而在纸上画出的图形都是平面的,这是一类很重要的抽象。特别是把物体表面分解,有利于培养学生的空间观念。
例58  探索并掌握“对顶角相等”。
[说明] 希望让学生知道,研究图形的性质可以用不同的方法。
图13
方法一:如图13,如果∠AOB=50°,可以算得∠A′OB=130°,∠A′OB′=50°,∠B′OA=130°;若改变∠AOB的度数,同样可以算∠A′OB,∠A′OB′,∠B′OA′的度数,从中引导学生发现∠AOB与∠A′O B′,以及∠A′OB与∠B′OA的大小相等可能具有一般规律。这是用不完全归纳(合情推理)的方法,猜想“对顶角相等”。
方法二:用硬纸片制作一个角,把这个角放在白纸上,描出∠AOB;再把∠AOB绕着点O 旋转180°到∠A′OB′的位置,即OA与OA′在同一条直线上,OB与OB′在同一条直线上(如图13),因此∠AOB与∠A′O B′是对顶角,且它们的大小相等。这是用图形运动的方法证明“对顶角相等”。
方法三:利用“同角的补角相等” ,用演绎推理的方法证明“对顶角相等”。
在具体的教学过程中采取哪种方法,或者几种方法同时介绍,可根据实际情况酌情处理。
例59  证明:两直线平行,则同位角相等。
图14
[说明] 考虑到学生的实际情况,在教学过程中,给出下面证明方法的时间可以酌情处理。
这个证明可以利用反证法完成,一方面使学生了解结论的证明,另一方面可以帮助学生了解反证法。如图14所示,我们希望证明:如果AB∥CD,那么∠1=∠2。假设∠1≠∠2,过点O作直线A′B′,使∠EOB′=∠2。根据“两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么两直线平行”这个基本事实,可得A′B′∥CD。这样,过点O就有两条直线AB、A′B′平行于CD,这与基本事实“过直线外一点有且仅有一条直线与这条直线平行”矛盾,说明∠1≠∠2的假设是不对的,于是有∠1=∠2。
例60  直观阐述基本事实:两组对应边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
[说明] 虽然基本事实是不需要证明的,但是启发学生进行直观分析、探索结论的合理性。
图15-1                       图15-2
如图15-1所示,一个三角形由六个元素构成,即三条边和三个角,因此,两个三角形如果三条边和三个角分别相等,则这两个三角形全等。问题是,最少几个元素就可以确定三角形从而构成全等条件呢?
观察图15-1中的△ABC,如果对图中的边BC“视而不见”,这样,对∠B和∠C也就“视而不见”了(如图15-2),此时△ABC的形状和大小并不改变。这就是说,AB、AC两条边及它们的夹角确定了△ABC的形状和大小,于是可以推断,两边以及这两边的夹角可以确定一个三角形。因此,可以认同“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”这个基本事实。
另外,也可以用图形运动(叠合)的方法确认“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”这个结论。
对于基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等,直观分析可以借助下面的图16-1、图16-2。
图16-1                           图16-2
可以引导学生思考,为什么“三个角分别相等的两个三角形全等”不能成为基本事实。
对于以上事实的认可,也可以从六个元素中的一个出发,既由少到多进行考虑,通过画图探索出需要几个元素即可确定一个三角形。
例61  根据性质对平行四边形、矩形、菱形、正方形分类。
[说明] 在第一和第二学段都讨论过分类的问题,通过分类有助于学生把握问题本质,了解研究对象的共性与差异。特别是对于几何图形分类,有利于培养几何直观性和思维的层次性。
分类的关键在于确定分类的标准,在不同的标准下可能会有不同的分类结果。一般来说,分类标准可以由粗到细,即由一个特征发展到多个特征(参见第一学段例19)。针对本问题把图形分为两类(其中一类可以是空的,在具体教学过程中不出现空集的概念)的标准可以考虑为:对边平行;对边平行且有一个角为直角;对边平行且四条边相等;对边平行、有一个角为直角、四条边相等。还可以通过对角线建立分类标准,等等。在具体教学过程中,可以启发学生想象,也可以做出实物让学生操作。
例62  探索并了解:过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等。
[说明] 通过探索和了解此结论的证明,帮助学生体验发现结论到验证结论的过程。
教学中可以参考安排如下的过程:
(1)发现结论。在透明纸上画出如图17-1的图:设 , 是⊙ 的两条切线, , 是切点。让学生操作:沿直线 将图形对折,启发学生思考,或者组织学生交流。学生可以发现:
, 。
这是通过实例发现图形性质的过程。启发学生由特殊到一般,通过合情推理推测出切线长定理的结论。
图17-1                        图17-2
(2)证明结论的正确性。如图17-2,连接 和 和OP。因为 和 是⊙ 的切线,则 ,即 和 均为直角三角形。又因为 和 ,则 与 全等。于是有
, 。
这是通过演绎推理证明图形性质的过程。
由此可见,合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式,都是研究图形性质的有效工具。
例63  某同学画出了如图18的图形,他发现:如果四边形ABCD 和BEFC都是平行四边形,则四边形AEFD也是平行四边形。并且,他如下证明了这个发现。
图18
证明:因为ABCD是平行四边形
所以  AD=BC         ①
AB=CD         ②
又因为BEFC也是平行四边形
所以  BC=EF         ③
BE=CF         ④
由①③得  AD=EF     ⑤
由②④得  AB+BE=DC+CF    ⑥
因为⑤⑥成立,所以四边形AEFD是平行四边形。
你能理解他的证明过程吗?
[说明] 引导学生判断上述结论与证明是否正确,希望学生通过错误的事例,感悟特殊和一般的关系,感悟演绎推理的逻辑要求。
例64  证明例62的结论。
[说明] 例62中,已经给出了“过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等”的证明,但表达方式没有用综合法证明的格式。综合法证明格式可以为:
证明:如图17-2,连接 , ,OP。
∵ 、 是⊙ 的切线(已知),
∴ (切线性质),
即 、 为直角三角形。
∵ (同圆半径相等), ,
∴ ≌ (斜边直角边定理)
∴ (对应边相等),
(对应角相等)。
上述证明与例62中给出的证明在两者本质上是一致的,仅是表达形式的不同,都是正确的。虽然例62的证明过程没有采用形式化的三段论,但有利于初学者把握证明的条理和说理的逻辑。
例65  下面图19-2中的三个三角形是由图19-1中的三角形经过平移、旋转和轴对称得到的,分别指出图形运动的形式,并标出对应的角。
图19-1                               图19-2
[说明] 把运动后的结果归纳在一起让学生辨认,有利于学生理解三种图形运动形式的不同之处,从而把握平移、旋转和轴对称的基本特征,体验图形运动是研究图形的有力工具。
例66  在直角坐标系中描出下列各点,将各组的点顺次连接起来。观察这个图形,你觉得像什么?
(1)(2,0),(4,0),(6,2),(6,6),(5,8),(4,6),(2,6),
(1,8),(0,6),(0,2),(2,0);
(2)(1,3),(2,2),(4,2),(5,3);
(3)(1,4),(2,4),(2,5),(1,5),(1,4);
(4)(4,4),(5,4),(5,5),(4,5),(4,4);
(5)(3,3)。
[说明] 在第二学段已经学习了利用方格纸画直角坐标系,理解整数坐标与格子点的对应关系(参见第二学段例36)。在本学段将学习一般的直角坐标系。利用直角坐标系可以把数与图形有机地结合起来,有利于用代数方法研究几何问题,也有利于借助图形直观地探索数量关系的规律性。
这个问题可以进一步扩展:把家乡的地图放在直角坐标系的第一象限内,然后等间隔地画出与坐标轴平行的两组平行线,一边用数字表示,一边用字母表示,然后让学生寻找自己熟悉的地点,并用数字和字母表示出该点。让学生理解,坐标的表示可以是多样的,坐标的核心是对应关系而不是具体表示形式。
例67  如何用方向和距离描述下图20中小红家相对于学校的位置?反过来,学校相对于小红家的位置怎样描述呢?
图20
统计与概率
例68  设计调查方法。
了解本年级的同学是否喜欢某电视剧。调查的结果适用于学校的全体同学吗?适用于全地区的电视观众吗?如果不适用,应当如何改进调查方法?
[说明] 对于许多问题,不可能、有时也不必要得到与问题有关的所有数据,只要得到一部分数据(样本)就可以对于总体的情况进行估计。很显然,如果得到的样本能够客观地反映问题,则估计就会准确一些,否则估计就会差一些。因此,我们希望寻找一个好的抽取样本的方法,使得样本能够客观地反映问题。在本学段,主要学习简单随机抽样方法,这是收集数据中通用的方法,在一般情况下,我们都假定样本是通过随机的方法得到的。
因为同一个年级的学生差异不大,采用随机抽样方法比较合适。可以在上学时在学校门口随机问讯,也可以按学号随机问讯。为了分析方便,需要把问题数字化,如喜欢这部电视剧的记为1,不喜欢的记为0。
对于这样的问题,问讯学生数不能少于20人,取40-50人比较合适,取更多的学生当然更好,但需要花费更多的精力。由此可见,一个好的抽样方法不仅希望“精度高”还希望“花费少”。
假设问讯的学生数为n,记录数据的和为m(显然,m为喜欢这部电视剧的人数),则调查结果说明,学生中喜欢这部电视剧的比例为 。我们依此估计本年级的同学中喜欢这部电视剧的比例。
用这个数据估计全地区的电视观众喜欢这部电视剧的比例是不合适的,因为学生、成年人、老年人喜欢的电视剧往往不同。为了对全地区的电视观众喜欢这部电视剧的情况进行估计,可以采用分层抽样方法,比如依据年龄分层,需要知道各年龄段人口的比例,按照比例数分配样本数,而在各个层内则采取随机抽样;或者依据职业分层,等等。
例69  某个公司有15名工作人员,他们的月工资情况如下表。计算该公司的月工资的平均数、中位数和众数,并分别解释结果的实际意义。
职务
经理
副经理
职员
人数
1
2
12
每人的月工资/元
5000
2000
800
[说明] 平均数、中位数和众数都是刻画数据的集中趋势的方法,因为方法不同,得到的结论也可能不同。很难说哪一种方法是对的,哪一种方法是错的,我们只能说,能够更客观地反映实际背景的方法要更好一些。在这组数据中有差异较大的数据,这会导致平均数较大,因此,用中位数或众数要比用平均数更客观一些。
不难计算出该公司月工资的中位数和众数均为800元。而
月工资的平均数= 加权平均
= 5000× +2000× +800×
= 1240(元)。
因此,加权平均往往就是总体平均,其中的权是数据对应的比例。
例70  如果还有一个公司也有15名工作人员,他们的月工资情况如下表。参照例69,比较两个公司的月工资状况。
职务
经理
副经理
职员
人  数
1
2
12
每人的月工资/元
3000
1800
1000
[说明] 容易计算,这个公司的月平均工资也是1240元。但是两个公司月工资的方差相差很大,通过计算可以得到:例69中数据的方差为1174400,本例中数据的方差为294400。两个方差相差4倍,有非常显著的差异,可以让学生知道,进一步学习“统计与概率”,将会得到这个结论。
例71  下表给出了我国1992-2004年国内生产总值(GDP)。试在直角坐标系中描出数对(年,GDP),并试用直线表示发展趋势。
年份
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
GDP
23938
34634
46759
58478
67885
74463
78345
年份
1999
2000
2001
2002
2003
2004
GDP
82067
89468
97315
105172
117390
136876
1992-2004中国GDP变化表(亿元)
[说明] 这个例子涉及变量之间的随机关系。通过这个例子可以培养学生解决实际问题的能力,让学生感悟到,对于实际问题往往需要具体问题具体分析,而不能单纯地套用书本上学到的知识。比如,图21中的直角坐标系的度量单位与书本上教的是不一样的,但刻度之间的比例关系是一致的,因此是合理的。可以引导学生利用直线预测我国未来经济的发展,引发学生的学习兴趣。
图21
对于“用直线表示发展趋势”的问题,原则上可以画出很多条直线,教师可以引导学生思考和讨论:如何建立标准来画出一条好的直线呢?显然,一个合理的标准应当是所有的数据点到这条直线的“距离”要小。可以引导学生讨论学生们制定的标准是否有道理,并且告诉学生,在高中阶段“统计与概率”的学习中将会解决这个问题。
类似这样的例子还有很多。比如,学生身高与体重的关系,同一种树的树叶长与宽的关系(参见第二学段“综合与实践”的例43)。也可以组织学生查阅资料,探究进出口总量与GDP的关系,人均收入与GDP的关系,等等。
例72  将下面这些卡片混在一起,从中任意选取一张卡片,这张卡片是船的概率是多少?是车的呢?
图22
[说明] 这是第二学段“统计与概率”例39的继续。学生已经能够理解:任意选取一张卡片,这张卡片是船的可能性比是车的可能性大,现在应当明确地知道其概率分别是 和 。
类似这样的例子还有很多,如转动转盘,当转盘停止时指针指向某一特定部分的概率;一个袋子里有几种颜色、数量不同的球,随机摸出某种颜色球的概率,等等。
例73  分析掷两个骰子点数之和的可能性的大小。
[说明] 这个问题看起来很难,无从下手。事实上,这也是简单事件的问题,利用第一学段“数与代数”例8的图,可以得到结论:对应的格子越多可能性越大。比如,点子之和为7的可能性最大,为2或者12 的可能性最小。
例74  抽签问题。5张扑克牌中只有一张黑桃,5个同学依次抽取,第一位抽取的同学抽取到黑桃的概率大,还是最后一名同学抽取到黑桃的概率大?
[说明] 学生可能会提出各种想法,事实上,上述两种方法抽取到黑桃的概率都是一样的,都是 。可以引导学生做试验来验证这个结果,并探索用频率估计概率的方法。
综合与实践
例75  空间想象与分类计数。
将一个边长为4的正方体的表面刷上红色的漆,再将它分割成64个边长为1的小正方体。
图23
(1)一面、两面、三面有红颜色的小正方体各有多少个?
(2)将正方体的棱长改为5,表面刷上红色的漆,再将它分割成边长为1的小正方体,一面、两面、三面有红颜色的小正方体各有多少个?
(3)将正方体的棱长改为a(a是正整数)表面刷上红色的漆,再将它分割成边长为1的小正方体,一面、两面、三面有红颜色的小正方体各有多少个?
(4)将正方体改成长、宽、高分别为3、4、5的长方体,表面刷上红色的漆,再将它分割成边长为1的小正方体,一面、两面、三面有红颜色的小正方体各有多少个?
(5)将正方体改成长、宽、高分别为a、b、c的长方体(a、b、c均为正整数),表面刷上红色的漆,再将它分割成边长为1的小正方体,一面、两面、三面有红颜色的小正方体各有多少个?
[说明] 本活动可以培养学生的空间想象力,帮助学生积累由特殊到一般、寻找规律的数学经验。在逐渐深入的探讨过程中,要引导学生把握问题的共性,从而得到一般性的结论。
例76  直觉的误导。
有一张8 cm 8 cm的正方形的纸片,面积是64 cm2。把这张纸片按图24左图所示剪开,把剪出的4个小块按图24右图所示重新拼合,这样就得到了一个长为13cm,宽为5cm的长方形,面积是65 cm2。这是可能的吗?
图24
[说明] 这是一个经验与逻辑不符的例子,希望学生通过学习体会到:对于数学的结论,完全凭借直观判断是不行的,还需要通过演绎推理来验证。
组织学生实际操作。一般来说,学生应当是不会相信图24右图中纸片的面积是65 cm2,但又无法说明自己观察的结果是错误的。进一步引导学生思考,如果观察是错误的,那么错误可能出在哪里呢?学生通过逻辑思考,可以推断只有一个可能:图24右图中纸片所示图形不是长方形,因此不能用长方形的面积计算公式来计算面积。然后,可以引导学生实际测量图形左上角或者右下角,发现确实不像是直角。可以告诉学生,这个想法是正确的,但最好能够给出证明,引导学生经历一个由合情推理到演绎推理的过程。
可以采用如下方法证明,在证明过程中加深对相似图形的理解。
如图25,过D做AC的垂线交AC于F。用反证法来证明。假定图24右图中的图形是长方形,那么图形的右下角就应当是直角,则在图25中有∠1+∠3=90°。因为∠2+∠3=90°,则∠1=∠2。由相似三角形的判定定理,两个直角三角形△ABC与△DEF相似。由相似三角形对应边成比例,应当有: ,这是不可能的,因此图24右图中的图形不可能是长方形。但是, ,这个差是很小的,因此会造成我们视觉的误差,把图24右图中的图形看作是长方形。
图25
教学中可以鼓励学生运用不同的方法对此问题进行解释和比较。
例77  探索平均数的意义。
假设我们得到了2个数据。令 为平均数,证明 是与 这2个数据差的平方和达到最小的实数,即对任意的实数 有
≤ 。
[说明] 这个例子给出了在进行数据分析时使用平均数的理由:使误差平方和达到最小。可以认为实数与数据的差为误差,因为误差有正有负,误差的和会出现正负抵消,因此不能用误差的和来刻画总误差,一个便利的方法是用误差的平方和来刻画总误差。本问题希望证明的是:平均数是使总误差达到最小的数。
这是一个求最小值的问题,可以把统计问题与代数问题有机地结合在一起,用配方法求这个二次函数的最小值。但对于本问题可以用“加一项减一项”的方法:
(x-b)2+(y-b)2 = (x-a+a-b)2+(y-a+a-b)2
= (x-a)2+(y-a)2+2(a-b)[(x-a)+(y-a)]+2(a-b)2
≥(x-a)2+(y-a)2
上述不等式成立利用了中括号中的2个数之和为0,这正是平均数的功效。因为  是任意的,从而证明了结论。
这个问题有很强的几何直观:
我们可以将数据(x,y)看作平面直角坐标系中点P的坐标。对于任意的实数,坐标为( , )的点B一定在直线(一次函数)y=x上。如果用(x- )2+(y- )2表示点P到点B的距离的平方,显然,使这个距离的平方达到最小的A一定满足PA^OA(如图26所示),于是问题可以变为:求点P到直线y=x的垂足。设垂足坐标为( , ),可以得到: 。
图26
可以把这个结果推广到多个数据的情况。通过这个例子也可以知道:平均数是数据在直线(坐标相等)上的投影,而方差是数据到直线距离的平方。
例78  梯子问题。
如图27所示,在墙上斜靠着一个长为10米的梯子,梯子顶端到地面的垂直距离为8米。如果梯子顶端下滑 米,则梯子的底端向外滑动 米。 与 相等吗?
图27
[说明] 这是一个用代数方法解几何问题的题目,即借助勾股定理建立一元二次方程,然后求解。
最初可以让学生借助勾股定理,代入具体数进行计算。如果代入的数是2,可以得到a=b,那么这个结论是一般的吗?从归纳的角度考虑,仅仅计算一次就推测出一般的结论是不够的。再代入其他的数计算可以发现:一般来说,a =b的结论是不对的。然后可以引导学生建立如下的模型,由a计算b:
(6+b)2 = 102-(8-a)2.
例79  身高比较。
比较自己班级与别的班级同学的身高状况。
[说明]对于两个班级学生身高状况比较,通常可以通过平均值来判断,但有时候仅仅通过平均数是不够的,如果一个班同学之间身高差异很大,而另一个班同学之间身高差异很小,即使前一个班的平均高一些,也不能说这个班的整体状况很好。因此,在判断身高状况时,不仅要看平均值,还需要参考方差。
通过数据之间的比较,可以引导学生逐渐深入地进行数据分析,从而理解数据分析的道理。因为计算量比较大,可以利用计算器或者计算机。如果学生基础比较好,可以进一步要求学生把身高分段,画出频数直方图,并引导学生讨论:通过直方图是否能得到更多的信息?
例80  从年历中想到的。
观察几个年份的年历、月历,思考下面几个问题:
(1)在一年的月历中,哪些月份的“月历表”是基本一致的?
(2)有一种计算机病毒叫“黑色的星期五”,当计算机的日期是13日又是星期五时,这种病毒就发作。请找出最近的5个使“黑色的星期五”发作的年、月、日。
(3)许多人都认为,“办喜事”最好的日子应该是“6月6日又是星期六”,可是有人说:“这样的日子是千载难逢”,你同意这种说法吗?你能找出几个“6月6日又是星期六”的具体年、月、日吗?
(4)印刷厂需要印刷整张的年历,不写标题的年号的整张的被称为“年历模版”。设想,只需要多少种不同的年历模版,就能保证不管是哪一年,都能找到一个对应的模版,添上年号后就可以印刷年历了?(不考虑农历)。
(5)我们用大写字母表示一个3 3的数表,比如:
A =  ,
称这样的数表为“3阶方阵”,那么,在一个月历表里可以得到几个3阶方阵?
用T(A)表示A中9个数的和,并称之为3阶方阵的“特征数”。请在今年的月历表里找出使得特征数最大的、最小的3阶方阵。有人说:“由月历表生成的3阶方阵的特征数完全由A所包含的某一个数(如 或者 )唯一确定”,你同意这种说法吗?如果同意,请给出理由;如果不同意,请举出反例。
[说明] 这是一个通过对日常生活观察、发现某些规律的开放性问题,可以根据学生的学习情况,提出不同层次的问题。每一个问题的设计,都是为了让学生学会观察、思考和质疑,提高学生学习数学的兴趣,体会模型思想。
问题(1)是让学生学会观察、学会提问题。这个问题的入手点低,每个学生都能参与,都能有所发现。并且可以培养学生“分类讨论”的意识,分平年和闰年:平年时,1、10月;2、3、11月;4、7月;9、12月的月历表基本一致;闰年时,1、4、7月;2、8月;3、11月;9、12月的月历表基本一致。引导学生在貌似杂乱无章中发现规律,利用规律感悟周期现象。
问题(2)中最近的几个“黑色的星期五”是:2006年1月13日、2006年10月13日、2007年4月13日、2007年7月13日、2008年6月13日。解决问题的方式较多,可以利用对问题(1)发现的规律来思考。也可以充分利用信息工具,如从网上找一个“万年历”的小软件用于观察发现。
问题(3)中最近的几个“6月6日星期六”的日子有1992年、1998年、2009年、2015年、2020年,因此“千载难逢”的说法不对。更加理性的思考是:闰年的周期大体上是“4”,星期的周期是“7”,所以年历的变化周期“大体上”不会超过4 7 =28。一旦找到了一个“6月6日星期六”的日子,如1992年,“大体上”可以猜测1992+28=2020(年)的6月6日也是星期六。也可以让学生思考:为什么是“大体上”,例外发生的条件是什么?
问题(4)讨论印刷年历模板的问题。可以这样思考:平年的1月1日可以是星期一、二、三、四、五、六、日中的某一个,有七种可能性;同理,闰年的1月1日也有七种可能性。综合平年和闰年的情况(不考虑农历),至多需要14种年历模版。
问题(5)中,特征数最大、最小的3阶方阵分别是:
A =       和    B = ,
对应的特征数分别为:T(A)= 207和T(B)= 81。
“由月历表生成的3阶方阵的特征数完全由A所包含的某一个数(如 或者 )唯一确定”这个说法是正确的。可以简单证明如下:
考虑数 的情况,由月历表的构成可以知道
A =  = 。
则可以得到T(A)= 9a + 72,这是 的函数。用同样的方法可以证明A中其他的数。
由上面的证明,还可以启发学生发现T(A)都是9的倍数。
教学建议
例81  “零指数”的教学设计(第三学段)。
通过计算 提出问题:由同底数幂的运算性质,得到 , 有什么意义呢?等于多少呢?我们需要做出解释,数学面临着挑战。
我们先回顾简单的事实: ,于是可以先提出猜想: =1,然后采用各种途径引导学生感受规定“ =1”的合理性。例如:
用细胞分裂作为情境,提出问题:一个细胞分裂1次变2个,分裂2次变4个,分裂3次变8个……那么,一个细胞没有分裂时呢?;
观察数轴上表示2的正整数次幂2、4、8、16,等等点的位置变化,可以发现什么规律?
O  1  2   4        8                16
图28
再观察下列式子中指数、幂的变化,可以发现下面的规律
这样,在学生感受“ =1”的合理性的基础上,做出零指数幂意义的“规定”,即 。
在规定的基础上,再次验证这个规定与原有“幂的运算性质”是相容的、无矛盾的。例如,计算 :
因此,学生在学习“零指数”时将经历如下的过程:面对挑战——提出“规定”的猜想——通过各种途径说明“规定”的合理性——做出“规定”——验证这种“规定”与原有知识体系无矛盾——指数概念得到扩充。
这样的过程较充分地体现了数学自身发展的轨迹,有助于学生感悟指数概念是如何扩充的,他们借助学习“零指数”所获得的经验,可以进一步尝试对负整指数幂的意义做出合理的“规定”。这样的过程较充分地展示了“规定”的合理性,有助于发展学生的理性精神。
例82  百分数的认识(第二学段)。
上课开始,教师与学生共同展示自己收集的生活中的“百分数”例子,比如,在饮料的包装盒上、在衣服的标签上、在报纸上、在玩具的说明书上,学生们发现了很多的百分数。教师要引发学生对这些新认识的数的兴趣,并鼓励学生对于百分数提出问题。比如:
(1)人们为什么要用百分数?
(2)百分数与分数有什么区别?
(3)
百分数是什么意思?
(4)百分号是怎么写的?

5)百分数是干什么的?
(6)分数用得多还是百分数用得多?
在此基础上,教师可以与学生一起把问题归纳为:
(1)为什么要用百分数?
(2)在什么情况下用?
(3)百分数是什么意思?
(4)与分数有什么联系?
在对问题进行归纳后,可以让学生分小组尝试回答这些问题,然后教师和学生共同提炼出本节课所要学习的知识。在这些基础上,教师可以进一步引导学生考虑:还可以创造什么数?如果学生的思维活跃,可能会提到十分数、千分数,等等。这个过程,不仅促使学生对知识的理解更加深刻,而且也鼓励了学生思维的创新。
例83  商不变的规律(第二学段)。
可以组织如下的教学过程。
教师先提出问题:尝试编出一道除法运算题,使得商是4,然后如何变化除数与被除数,使得商仍然是4?同学(或者讨论小组)经过思考后,可能会就具体的算式发表类似的意见:被除数乘某数,除数乘某数,商都是4。
教师可以清理学生的思路:是不是被除数变大,除数也跟着变大,商就不变?经过进一步计算和思考,部分学生可能会得出一般的结论:被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数时,商不变。
最后,教师可以要求所有的学生验证这个结论。
例84  探索数量关系的变化规律(第三学段)。
教师可以先给出题目,求
1+3+5+…+19=?
教学的目的当然不是希望学生通过加法运算得到结果,而是希望学生通过求解的过程归纳出规律,最终预测出一般性的结果并验证。可以有各种途径引导学生探索规律,但在本质上有两条基本途径:由简单到复杂;利用已知的公式。
(1)由简单到复杂。从题目的最简单的情况开始计算,探索规律:
1+3=4
1+3+5=9
1+3+5+7=16
1+3+5+7+9=25
学生可能会发现上述计算结果均为平方数,甚至可能会发现均为算式中因子个数的平方,于是可以预测
1+3+5+…+19=102=100
这个时候,学生可能已经知道了一般的计算公式,但是要让全体学生都能够用数学符号把计算公式表达出来还是有一定困难的。这时,需要先引导学生考虑奇数的符号表达,考虑这个表达与题目中因子个数的关系,然后可以得到一般的结论:
1+3+5+7+…+(2n -1)= n2
最后用数学归纳法等验证这个结论。
这种由最简单情况出发探索规律的方法似乎非常笨拙,但在数学探究中往往是最有效的方法。在教学过程中要让学生关注:分析计算结果的数量关系、寻求规律,提出猜想,符号表达,验证规律。
为了帮助学生思考,教师也提供一些工具,比如下面的点阵,启发学生从数与形的联系中发现规律:
图29
可以看到,图29中的折线中得到的就是平方数,引导学生用算式表达出来,然后得到一般的结论。
(2)利用已知结果。如果学生已经知道自然数前n项和的公式:
1+2+3+…+ =
则可以计算偶数的前n项和的公式:
2+4+6+…+2 = 2(1+2+…+ )
=
于是奇数的前n项和的公式为:
…+ = +…+ )-(2+4+…+ )
= -
= 。
第二种方法看起来比较简洁,但是从寻找规律的角度考虑,采用第一种方法更合适。第二种方法利于学生理解数学符号的意义,培养学生推导公式的能力。因此,在教学过程,要根据教学目标的不同采用不同的引导途径。
[1] 考试中,只能用下文出现的基本事实和定理作为证明的依据。
[2] 不要求用(2)、(3)、(7)证明其他命题。
[3] 不要求用(4)、(5)证明其他结论。
[xiaochen1]      原为:人人学有价值的数学;人人都能获得必需的数学
[xiaochen2]明确提出
[xiaochen3]强调了接受学习的作用
[xiaochen4]原为:观察、实验、猜测、验证、推理与交流
[xiaochen5]对教师的主导作用赋予了新的意义
[xiaochen6]原为:更要
[xiaochen7]原为更要
[xiaochen8]新增要求
[xiaochen9]原为空间与图形
[xiaochen10]原为实践与综合运用
[xiaochen11]新增的要求,在数与代数中提出推理能力的培养
[xiaochen12]明确提出
[xiaochen13]新增的要求
[xiaochen14]新增的要求
[xiaochen15]新增的要求
[xiaochen16]明确了合情推理与演绎推理的涵义
[xiaochen17]原为:统计观念
[xiaochen18]新增了随机现象
[xiaochen19]明确提出
[xiaochen20]新增的要求
[xiaochen21]原为:统计观念
[xiaochen22]新增的数学活动
[xiaochen23]新增的过程
[xiaochen24]在此条中新增的能力要求
[xiaochen25]原为:实践能力与创新精神
[xiaochen26]原为:认识
[xiaochen27]明确要求
[xiaochen28]原为:感受抽样的必要性
[xiaochen29]明确了简单事件
[xiaochen30]新增的要求
[xiaochen31]与原来的提法不同
[xiaochen32]明确提出合情推理与演绎推理的作用
[xiaochen33]新增的要求
[xiaochen34]根据例题判断,把原来“能对含有较大数字的信息作出合理的解释和判断”合并于此项
[xiaochen35]新增的具体要求
[xiaochen36]新增的具体要求
[xiaochen37]明确提出的要求
[xiaochen38]没有明确提出有效数字的要求
[xiaochen39]明确提出最简二次根式的概念
[xiaochen40]删去了“不要求分母有理化”的要求
[xiaochen41]根据例题判断把原来的“能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义”合并于此项
[xiaochen42]明确提出这部分的要求
[xiaochen43]新增部分
[xiaochen44]原为指数的要求
[xiaochen45]原为观察
[xiaochen46]新增了对等式性质的要求
[xiaochen47]删去了分式方程的限制条件“方程中的分式不超过两个”的要求
[xiaochen48]新增的学习内容,为二次函数部分新增内容作准备
[xiaochen49]新增学习内容
[xiaochen50]没有明确提出一元一次不等式组的应用
[xiaochen51]明确提出了待定系数法求解析式,而原来没有明确提出
[xiaochen52]新增
[xiaochen53]新增内容
[xiaochen54]明确提出
[xiaochen55]原来名称为“空间与图形”,这部分内容原来有四部分分别为图形的认识、图形与变换、图形与坐标、图形与证明;而在《课标修订稿》中,分为了“图形的性质、图形的变化、图形与坐标”三部分内容,将原来的图形的认识与图形与证明合并在图形的性质中
[xiaochen56]在这一项目中删出了“了解角平分线及其性质”,将角平分线的知识移到后面的三角形中
[xiaochen57]明确提出
[xiaochen58]新增学习内容
[xiaochen59]新增学习内容
[xiaochen60]新增要求
[xiaochen61]新增内容
[xiaochen62]新增内容
[xiaochen63]明确提出
[xiaochen64]新增内容
[xiaochen65]这部分内容删去了“平面图形的镶嵌的内容”
[xiaochen66]新增的内容
[xiaochen67]新增内容
[xiaochen68]新增内容
[xiaochen69]新增内容
[xiaochen70]新增内容
[xiaochen71]新增内容
[xiaochen72]新增内容
[xiaochen73]新增内容
[xiaochen74]新增内容
[xiaochen75]原来要求会写已知、求作和作法
[xiaochen76]新增内容
[xiaochen77]新增内容
[xiaochen78]原为图形与变换
[xiaochen79]不再提出镜面对称和利用轴对称进行图案设计
[xiaochen80]原为“能够按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形”
[xiaochen81]删除了“按要求作出平面图形旋转后的图形”的内容
[xiaochen82]新增学习内容
[xiaochen83]删除了“能按要求作出简单平面图形平移后的图形”
[xiaochen84]将相似图形面积比等于相似比的平方的性质移到了相似三角形的性质一项中
[xiaochen85]新增内容
[xiaochen86]新增学习内容
[xiaochen87]原为通过实例认识
[xiaochen88]明确提出
[xiaochen89]删去了阴影、视点、视角、盲区等内容
[xiaochen90]不再使用三视图的提法
[xiaochen91]新增内容
[xiaochen92]原为在方格纸中
[xiaochen93]新增内容
[xiaochen94]原来为“灵活运用不同的方式确定物体的位置”
[xiaochen95]更加明确“图形变换后点的坐标的变化”中的图形变换
[xiaochen96]明确要求
[xiaochen97]新增内容
[xiaochen98]由原来的三条变成了两条